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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Abschätzung, Exponentation
Abschätzung, Exponentation < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abschätzung, Exponentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Sa 25.05.2013
Autor: sissile

Aufgabe
Zeige die folgenden Abschätzungen für x>0
[mm] (\frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{x^3}) e^{\frac{x^2}{2}} \le \int_x^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} [/mm] dz [mm] \le \frac{1}{x} e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm]

Servus,

Anfangs hab ich versucht mit Verteilungsfunktion der Normalverteilung oder so etwas zu machen - hat nicht geklapt.

Neuer Weg war die rechte und linke Seite mittels Hauptsatz der Diff und Int-Rechnung auf ein Integral mit Grenzen x bis unendlich zu bringen:

Ist mir auch gelungen (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
[mm] \frac{1}{x} e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm] = [mm] \int_x^\infty (1/t^2 [/mm] + 1) [mm] e^{-\frac{t^2}{2}} [/mm] dt

[mm] (\frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{x^3}) e^{\frac{x^2}{2}} =\frac{1}{x}e^{\frac{x^2}{2}} -\frac{1}{x^3} e^{\frac{x^2}{2}}= [/mm] (1 - [mm] \frac{3}{x^4} [/mm] ) [mm] e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm]
Und jetzt?
Muss ich das mittelere Integral ausrechnen mit Transformationssatz?

LG


        
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Sa 25.05.2013
Autor: luis52

Moin, ist

$ [mm] (\frac{1}{x} [/mm] $ - $ [mm] \frac{1}{x^3}) e^{\red{-}\frac{x^2}{2}} \le \int_x^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} [/mm] dz  [mm] \le \frac{1}{x} e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm] $    

zu zeigen?

Bezug
        
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Sa 25.05.2013
Autor: luis52

Moin,

deine Idee mit der (Standard-)Normalverteilung lacht mich an. Die rechte Ungleichung ist aequivalent mit

[mm] $x\Phi(x)+\varphi(x)\ge [/mm] x$ ...

Diese Ungleichung gilt schon fuer $x=0$.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Sa 25.05.2013
Autor: sissile

Ja die Abschätzung mit dem Minus davor ;)
Was ist [mm] \Phi, \phi [/mm] ?
Ich kann mit deiner Antwort leider noch nichts anfangen.

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Sa 25.05.2013
Autor: luis52


>  Was ist [mm]\Phi, \phi[/mm] ?

[]Da schau her.

vg Luis


Bezug
                                
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:48 Sa 25.05.2013
Autor: sissile

Danke (es hat ja nicht jeder die gleiche Bezeichnung)

Aber wie weiß ich das ich genau auf die Ungleichung in deinen beitrag umformen muss?

Ich habe mit meinen Ansatz weitergearbeitet:
[mm] \int_x^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} [/mm]  dz  [mm] \le \frac{1}{x} e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm]
<=> (nach 1 Beitrag)
[mm] \int_x^\infty e^{-z/2} [/mm] dz [mm] \le \int_x^\infty (1/t^2 [/mm] +1) [mm] e^{-\frac{t^2}{2}} [/mm] dt
[mm] \overbrace{<=>}^{??}e^{\frac{-z}{2}} \le \frac{1+t^2}{t^2} e^{- \frac{t^2}{2}} [/mm]
<=> [mm] t^2 \le 1+t^2 [/mm] <=> 0 [mm] \le [/mm] 1
Wobei ich eine Äquivalenz nicht begründen kann, Da es die Monotonie des Integral andersrum ist , wenn du verstehst was ich meine.


Bezug
                                        
Bezug
Abschätzung, Exponentation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Mo 27.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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