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| Aufgabe | Seien x,y,z nicht-negative reele Zahlen mit y+z [mm] \ge [/mm] 2. Beweisen Sie:
(x + y + z)² [mm] \ge [/mm] 4x + 4yz |
Hallo,
die Aufgabe stammt von unserem ersten Zettel in Zahlentheorie. Mehr als den großen Satz von Fermat wurde noch nicht angesprochen. Ich finde leider keine geeignete Abschätzung. Habe es schon folgendermaßen versucht:
(x + (y+z))² = x² + 2x(y+z) + (y+z)² [mm] \ge [/mm] x² + 4x + 4 aber das hilft mir nicht viel.
Kann mir jemand helfen?
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Aufgabentext vergessen:
Ermitteln Sie zudem, wann Gleichheit gilt.
Der Umstellung nach zu urteilen, gälte dies, wenn x=2, y=z=1
aber (2 + 1 + 1)² = 16 [mm] \not= [/mm] 8 = 4*2 + 4
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aufgabentext vergessen:
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> Ermitteln Sie zudem, wann Gleichheit gilt.
>
> Der Umstellung nach zu urteilen, gälte dies, wenn x=2,
> y=z=1
Wie kommst du da drauf?
Schauen wir uns doch mal das an was du gemacht hast. Es ist $(x + y + [mm] z)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + (y + [mm] z)^2 [/mm] + 2 x (y + z)$. Jetzt ist $y + z =2$, also ist dies gleich [mm] $x^2 [/mm] + 4 x + 4$ (und nicht groessergleich!). Du musst also schauen, wann in der Ungleichungskette [mm] $x^2 [/mm] + 4 x + 4 [mm] \ge [/mm] 4 x + 4 [mm] \ge [/mm] 4 x + 4 y z$ ueberall Gleichheit herrscht. Das ist aber nun ganz einfach.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$(x + y + [mm] z)^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2+2yz+z^2+2(y+z)$
[/mm]
Also
$(x + y + [mm] z)^2 \ge [/mm] 4x+4yz [mm] \gdw x^2-4x +y^2-2yz+z^2+2x(y+z) \ge [/mm] 0 [mm] \gdw x^2-4x+4 +(y-z)^2+2x(y+z) [/mm] -4 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (x-2)^2+(y-z)^2 [/mm] +2x(y+z)-4 [mm] \ge [/mm] 0$
Falls [mm] $(x-2)^2+(y-z)^2 [/mm] +2(y+z)-4 [mm] \ge [/mm] 0$, so bist Du fertig ! Warum ist diese letzte Ungleichung wahr ??
FRED
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Du hast falsch ausmultipliziert, daher klappt das nicht.
$ (x + y + [mm] z)^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2+2yz+z^2+2x(y+z) [/mm] $ (du hast das x im letzten Teil vergessen)
So sieht die endgültige Formel so aus:
$ (x-2)² + (y-z)² + 2x(y+z) -4 [mm] \ge [/mm] 0$ und da kann man nicht so einfach argumentieren, da das x als Faktor vor der Klammer steht. Und nun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Du hast falsch ausmultipliziert, daher klappt das nicht.
>
> [mm](x + y + z)^2 = x^2+y^2+2yz+z^2+2x(y+z)[/mm] (du hast das x im
> letzten Teil vergessen)
Du hast recht, das x ging mir verloren (hab es oben verbessert), pardon
>
> So sieht die endgültige Formel so aus:
>
> [mm](x-2)^2 + (y-z)^2 + 2x(y+z) -4 \ge 0[/mm] und da kann man nicht
> so einfach argumentieren, da das x als Faktor vor der
> Klammer steht. Und nun?
Da muß ich nochmal drüber nachdenken
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> Seien x,y,z nicht-negative reele Zahlen mit y+z [mm]\ge[/mm] 2.
> Beweisen Sie:
>
> (x + y + z)² [mm]\ge[/mm] 4x + 4yz
>
>
> die Aufgabe stammt von unserem ersten Zettel in
> Zahlentheorie. Mehr als den großen Satz von Fermat wurde
> noch nicht angesprochen. Ich finde leider keine geeignete
> Abschätzung. Habe es schon folgendermaßen versucht:
>
> (x + (y+z))² = x² + 2x(y+z) + (y+z)² [mm]\ge[/mm] x² + 4x + 4
> aber das hilft mir nicht viel.
Doch, damit bist du fast fertig: zeige, dass $y z [mm] \le [/mm] 1$ ist (es ist ja $y z = y (2 - y)$; schreibe das um in die Scheitelpunktform). Daraus folgt dann [mm] $x^2 [/mm] + 4 x + 4 [mm] \ge [/mm] 4 x + 4 [mm] \ge [/mm] 4 x + 4 y z$.
LG Felix
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