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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 10.03.2015 | | Autor: | ito |
| Aufgabe | Ich möchte den folgenden Ausdruck wie folgt abschätzen
[mm] $|\lambda(x-y)^+ [/mm] + [mm] (1-\lambda)(x-y)^- -\lambda(x-z)^+ [/mm] - [mm] (1-\lambda)(x-z)^-| \le [/mm] L(x)|y-z|$
wobei $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\lambda \in [/mm] (0,1)$ |
Für [mm] $\lambda=0,5$ [/mm] gilt die Ungleichung als direkte Anwendung der umgekehrten Dreiecksungleichung mit $L(x)=0,5$ . Gilt diese Ungleichung auch für bel. [mm] $\lambda \in [/mm] (0,1)$?
1. Ansatz war erst mal sortieren und schauen :)
Es gilt
[mm] $\lambda(x-y)^+ [/mm] + [mm] (1-\lambda)(x-y)^- [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (x-y) + (x-y)^-$
somit
[mm] $\lambda(x-y)^+ [/mm] + [mm] (1-\lambda)(x-y)^- -\lambda(x-z)^+ [/mm] - [mm] (1-\lambda)(x-z)^-$
[/mm]
$= [mm] \lambda [/mm] [(x-y) - (x-z)] + (x-y)^- - (x-z)^-$
$= [mm] \lambda [/mm] (z-y) + (x-y)^- - (x-z)^- $
sieht ja eigentlich ganz gut aus aber komme an der Stelle nicht wirklich weiter...
2. Ansatz
den Term mit p^* = max{p, 1-p} und p_*= min{p,1-p} abschätzen aber auch hier komme ich nicht wirklich zum gewünschten Ergebnis.
vllt. jemand eine Idee?
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Hallo,
> Ich möchte den folgenden Ausdruck wie folgt abschätzen
> [mm]|\lambda(x-y)^+ + (1-\lambda)(x-y)^- -\lambda(x-z)^+ - (1-\lambda)(x-z)^-| \le L(x)|y-z|[/mm]
>
> wobei [mm]x,y,z \in \IR[/mm] und [mm]\lambda \in (0,1)[/mm]
> Für [mm]\lambda=0,5[/mm]
> gilt die Ungleichung als direkte Anwendung der umgekehrten
> Dreiecksungleichung mit [mm]L(x)=0,5[/mm] . Gilt diese Ungleichung
> auch für bel. [mm]\lambda \in (0,1)[/mm]?
>
> 1. Ansatz war erst mal sortieren und schauen :)
> Es gilt
> [mm]\lambda(x-y)^+ + (1-\lambda)(x-y)^- = \lambda (x-y) + (x-y)^-[/mm]
>
> somit
> [mm]\lambda(x-y)^+ + (1-\lambda)(x-y)^- -\lambda(x-z)^+ - (1-\lambda)(x-z)^-[/mm]
>
> [mm]= \lambda [(x-y) - (x-z)] + (x-y)^- - (x-z)^-[/mm]
> [mm]= \lambda (z-y) + (x-y)^- - (x-z)^-[/mm]
>
> sieht ja eigentlich ganz gut aus aber komme an der Stelle
> nicht wirklich weiter...
Ich denke, mit dem ersten Ansatz kommst du zum Ziel.
Wenn ich dieselbe Definition vom Negativteil habe wie du, ist ja [mm] $a^{-} [/mm] = [mm] \max(-a,0)$.
[/mm]
Um die gewünschte Aussage zu zeigen, brauchst du ja nur noch
$|(x-y)^- - (x-z)^-| [mm] \le [/mm] |y-z|$
zu zeigen. Dafür würde es genügen zu zeigen, dass
$|a^- - b^-| [mm] \le [/mm] |a-b|$
für beliebige $a,b$ gilt (du kannst dann $a = x-y$ und $b = x-z$ wählen).
Hierfür ist der leichteste Weg, denke ich, eine Fallunterscheidung.
Wenn $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ sind, ist die Aussage $0 [mm] \le [/mm] |a-b|$ klar erfüllt.
Wenn $a [mm] \ge [/mm] 0$, $b < 0$, so steht da $|b| [mm] \le [/mm] a + |b| = |a-b|$, was auch sicher erfüllt ist.
Im Falle $a,b < 0$ ist es Gleichheit.
Viele Grüße,
Stefan
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