Ableitungsregel für Umkehrfkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie durch Verwendung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen, dass arsinh'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}} [/mm] |
Angaben habe ich folgende:
sinh'(x) = cosh'(x)
bzw: sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
cosh(x) [mm] =\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})
[/mm]
Also gut dann setze ich mal an und bilde die Umkehrfunktion von sinh(x):
[mm] y=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^-{x})
[/mm]
<=> ln y = ln [mm] \bruch{1}{2}(ln e^{x}-ln e^{-x})
[/mm]
<=> ln y = (ln 1 - ln 2)*(x*ln e + x * ln e )
<=> ln y = - ln(2)*(2x)
<=> ln y = -2x ln(2)
<=> ln y = -x*ln 4
<=> [mm] -\bruch{y}{ln 4} [/mm] = x
Jetzt x und y vertauschen und wir haben
[mm] f(x)=-\bruch{x}{ln 4} [/mm] = arsinh(x) (Hier liege ich dann vermutlich schon falsch und weiss nicht wirklich warum)
Die Definition hilft mir so, wie ich sie in der Vorlesung bekommen habe auch nicht wirklich weiter:
[mm] f^{-1}'= \bruch{1}{f'(x)} [/mm] <-- wie würde ich hier im nachhinein denn die variablen wieder vertauscht bekommen?
Mein zweiter Ansatz war mir zu unsicher, da ich nicht sicher weiss, was denn arcsinh(x) ist
Die Frage habe ich ansonsten nirgends gestellt.
[mm] (arcsinh^{-1}(y))' [/mm] = [mm] \bruch{1}{arcsinh'(x)}
[/mm]
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> Zeigen sie durch Verwendung der Ableitungsregel für
> Umkehrfunktionen, dass arsinh'(x) =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
> Angaben habe ich folgende:
> sinh'(x) = cosh'(x)
>
> bzw: sinh(x) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})[/mm]
> cosh(x) [mm]=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm]
>
> Also gut dann setze ich mal an und bilde die Umkehrfunktion
> von sinh(x):
>
> [mm]y=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^-{x})[/mm]
> <=> ln y = ln [mm]\bruch{1}{2}(ln e^{x}-ln e^{-x})[/mm]
> <=> ln y =
> (ln 1 - ln 2)*(x*ln e + x * ln e )
> <=> ln y = - ln(2)*(2x)
> <=> ln y = -2x ln(2)
> <=> ln y = -x*ln 4
> <=> [mm]-\bruch{y}{ln 4}[/mm] = x
> Jetzt x und y vertauschen und wir haben
> [mm]f(x)=-\bruch{x}{ln 4}[/mm] = arsinh(x) (Hier liege ich dann
> vermutlich schon falsch und weiss nicht wirklich warum)
>
du fängst an mit [mm] sinh(x)=y=0.5*(e^x-e^{-x}) [/mm] dann x mit y vertauschen:
[mm] 2*x=e^y-e^{-y} [/mm] nun multiplizierst du auf beiden seiten mit [mm] e^y [/mm] und kommst auf:
[mm] e^{2y}-2*x*e^y-1=0
[/mm]
nun subst. [mm] z=e^y, [/mm] nun siehst du deine vorliegende quadratische gleichung besser, am ende zurücksubstituieren..
mach dir klar, warum die negative lösung der quadratischen gleichung wegfällt..
am ende solltest du auf
[mm] {\rm arsinh}(x) [/mm] = [mm] \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)kommen, [/mm] siehe wiki
> Die Definition hilft mir so, wie ich sie in der Vorlesung
> bekommen habe auch nicht wirklich weiter:
>
> f'^{-1}= [mm]\bruch{1}{f'(x)}[/mm] <-- wie würde ich hier im
> nachhinein denn die variablen wieder vertauscht bekommen?
>
> Mein zweiter Ansatz war mir zu unsicher, da ich nicht
> sicher weiss, was denn arcsinh(x) ist
>
> Die Frage habe ich ansonsten nirgends gestellt.
>
> arcsinh'(x) = [mm]\bruch{1}{arcsinh'(x)}[/mm]
das würde bedeuten, dass die ableitung der funktion gleich dem kehrwert der ableitung wär?!
zum schluss empfehl ich noch n video dazu:
http://de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/cpkienx-Ableitung-Umkehrfunktion-arctan-x-mpg
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Erstmal vielen dank, aber wieso ist mein Weg der Umstellung denn falsch?
Ist logarithmieren etwas, dass man prinzipiell vermeiden sollte bei der umkehrfunktion?
Ist dein Weg denn zulässig im Hinblick auf die Aufgabenstellung?
Danke auch für den hinweis auf meine fahrlässigen fehler - die bügel ich flott mal aus ;)
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> Erstmal vielen dank, aber wieso ist mein Weg der Umstellung
> denn falsch?
du hattest ja
[mm] y=0.5(e^x-e^{-x}), [/mm] wenn du darauf den ln anwendest, bekommst du
[mm] ln(y)=ln(0.5(e^x-e^{-x})) [/mm] was dich nicht weiterbringt (du hast beim anwenden des lns einen fehler gemacht zusätzlich)
>
> Ist logarithmieren etwas, dass man prinzipiell vermeiden
> sollte bei der umkehrfunktion?
nein!
bsp: [mm] y=e^x [/mm] |ln()
=> ln(y)=x*ln(e)=x
vertauschen x-y:
ln(x)=y
also war hier das logarithmieren notwendig
>
> Ist dein Weg denn zulässig im Hinblick auf die
> Aufgabenstellung?
mein weg ist in hinblick auf die umkehrfunktion von sinh(x) quasi zwingend..
in hinblick auf die ableitung über die umkehrfunktion hab ich aber keine ahnung, wollte eigentlich erstmal nur deinen weg korrigieren 
>
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> Danke auch für den hinweis auf meine fahrlässigen fehler
> - die bügel ich flott mal aus ;)
mfg tee
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