Ableitungen von Kompositionen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | In dieser Aufgabe soll die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion h(x) mit Definitionsbereich D
h(x) = f [mm] \circ [/mm] g(x) ≔ f(g(x)) ,x [mm] \in [/mm] D
mit der Kettenregel berechnet werden. f heißt auch die äussere Funktion und g die innere Funktion der Komposition f [mm] \circ [/mm] g.
1. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=\wurzel{4x^{2}+3}
[/mm]
2. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{8}
[/mm]
3. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=\bruch{1}{3x^{3}+2x^{2}+8x+7}
[/mm]
4. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich würde mich freuen wenn jemand meine Ableitungen überprüfen könnte ;)!
1. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=\wurzel{4x^{2}+3}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y)=\wurzel{y}
[/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=4x^{2}+3
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=\bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
Innere Ableitung: g'(x)=8x
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{4x^{2}+3}}*8x=\bruch{4x}{\wurzel{4x^{2}+3}}
[/mm]
2. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{8}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y)=(y)^{8}
[/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x}
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=8(y)^{7}
[/mm]
Innere Ableitung: [mm] g'(x)=18x^{2}-\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{8}{x^{2}}
[/mm]
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=8(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{7}*(18x^{2}-\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{8}{x^{2}})=(144x^{2}-\bruch{8}{\wurzel{x}}+\bruch{64}{x^{2}})*(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{7}
[/mm]
3. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=\bruch{1}{3x^{3}+2x^{2}+8x+7}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y)=\bruch{1}{y}
[/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=3x^{3}+2x^{2}+8x+7
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=-\bruch{1}{y^{2}}
[/mm]
Innere Ableitung: [mm] g'(x)=9x^{2}+4x+8
[/mm]
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{(3x^{3}+2x^{2}+8x+7)^{2}}*9x^{2}+4x+8=-\bruch{9x^{2}+4x+8}{(3x^{3}+2x^{2}+8x+7)^{2}}
[/mm]
4. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=-\bruch{1}{2y\wurzel{y}}
[/mm]
Innere Ableitung: [mm] g'(x)=20x^{3}+14x
[/mm]
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2(5x^{4}+7x^{2}+9)}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}*(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{(10x^{4}+14x^{2}+18)*\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Fr 13.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo fuoor,
> In dieser Aufgabe soll die Ableitung einer
> zusammengesetzten Funktion h(x) mit Definitionsbereich D
>
> h(x) = f [mm]\circ[/mm] g(x) ≔ f(g(x)) ,x [mm]\in[/mm] D
>
> mit der Kettenregel berechnet werden. f heißt auch die
> äussere Funktion und g die innere Funktion der Komposition
> f [mm]\circ[/mm] g.
>
> 1. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=\wurzel{4x^{2}+3}[/mm]
>
> 2. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{8}[/mm]
>
> 3. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=\bruch{1}{3x^{3}+2x^{2}+8x+7}[/mm]
>
> 4. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich würde mich freuen wenn jemand meine Ableitungen
> überprüfen könnte ;)!
>
>
> 1. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=\wurzel{4x^{2}+3}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y)=\wurzel{y}[/mm]
> Innere Funktion: [mm]g(x)=4x^{2}+3[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=\bruch{1}{2\wurzel{y}}[/mm]
> Innere Ableitung: g'(x)=8x
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{4x^{2}+3}}*8x=\bruch{4x}{\wurzel{4x^{2}+3}}[/mm]
Richtig.
> 2. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{8}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y)=(y)^{8}[/mm]
Die Klammer ist hier nicht notwendig.
> Innere Funktion: [mm]g(x)=6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x}[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=8(y)^{7}[/mm]
Auch hier nicht.
> Innere Ableitung:
> [mm]g'(x)=18x^{2}-\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{8}{x^{2}}[/mm]
Vorzeichenfehler. Es gilt:
[mm] \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}.
[/mm]
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=8(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{7}*(18x^{2}-\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{8}{x^{2}})=(144x^{2}-\bruch{8}{\wurzel{x}}+\bruch{64}{x^{2}})*(6x^{3}-2\wurzel{x}+\bruch{8}{x})^{7}[/mm]
Folgerichtig.
> 3. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=\bruch{1}{3x^{3}+2x^{2}+8x+7}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y)=\bruch{1}{y}[/mm]
> Innere Funktion: [mm]g(x)=3x^{3}+2x^{2}+8x+7[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=-\bruch{1}{y^{2}}[/mm]
Hier machst du es aber richtig.
> Innere Ableitung: [mm]g'(x)=9x^{2}+4x+8[/mm]
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{(3x^{3}+2x^{2}+8x+7)^{2}}*9x^{2}+4x+8=-\bruch{9x^{2}+4x+8}{(3x^{3}+2x^{2}+8x+7)^{2}}[/mm]
Richtig.
> 4. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Innere Funktion: [mm]g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=-\bruch{1}{2y\wurzel{y}}[/mm]
Hier stimmt was nicht.
> Innere Ableitung: [mm]g'(x)=20x^{3}+14x[/mm]
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2(5x^{4}+7x^{2}+9)}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}*(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{(10x^{4}+14x^{2}+18)*\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
Das ist falsch und der Fehler liegt im Nenner. Übrigens
kannst du im Zähler noch [mm] $2x\$ [/mm] ausklammern, sodass sich
am Ende nochmal die [mm] $2\$ [/mm] kürzt.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Ist das so besser?
4. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}} [/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=-\bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
Innere Ableitung: [mm] g'(x)=20x^{3}+14x
[/mm]
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}\cdot{}(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{2\cdot{}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}=-\bruch{x(10x^{2}+7)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist das so besser?
>
> 4. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm]
> Innere Funktion: [mm]g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=-\bruch{1}{2\wurzel{y}}[/mm]
Das stimmt nicht
FRED
> Innere Ableitung: [mm]g'(x)=20x^{3}+14x[/mm]
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}\cdot{}(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{2\cdot{}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}=-\bruch{x(10x^{2}+7)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fuoor |
4. h(x)=f [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
Äussere Funktion: [mm] f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}}
[/mm]
Innere Funktion: [mm] g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9
[/mm]
Äussere Ableitung: [mm] f'(y)=-\bruch{y}{2\wurzel{y}}
[/mm]
Innere Ableitung: [mm] g'(x)=20x^{3}+14x
[/mm]
Ableitung der Komposition: [mm] f'(g(x))g'(x)=-\bruch{5x^{4}+7x^{2}+9}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}*20x^{3}+14x=-\bruch{x(50x^{6}+105x^{4}+104x^{2}+63)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}
[/mm]
So?
Wenn nein, wo fängt denn der Fehler an?
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Hallo fuoor,
> 4. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
> Äussere Funktion: [mm]f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm]
> Innere Funktion: [mm]g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9[/mm]
> Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=-\bruch{y}{2\wurzel{y}}[/mm]
Die äussere Ableitung ist doch nur [mm]f'(y)=-\bruch{1}{2\wurzel{y}}[/mm]
> Innere Ableitung: [mm]g'(x)=20x^{3}+14x[/mm]
> Ableitung der Komposition:
> [mm]f'(g(x))g'(x)=-\bruch{5x^{4}+7x^{2}+9}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}*20x^{3}+14x=-\bruch{x(50x^{6}+105x^{4}+104x^{2}+63)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
> So?
>
Nein.
> Wenn nein, wo fängt denn der Fehler an?
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fuoor |
> Ist das so besser?
>
> 4. h(x)=f $ [mm] \circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}} [/mm] $
>
> Äussere Funktion: $ [mm] f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}} [/mm] $
> Innere Funktion: $ [mm] g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9 [/mm] $
> Äussere Ableitung: $ [mm] f'(y)=-\bruch{1}{2\wurzel{y}} [/mm] $
Das stimmt nicht
FRED
Somit bin ich ab hier verwirrt! :) Wo liegt denn im Folgenden dwer Fehler?
> Innere Ableitung: $ [mm] g'(x)=20x^{3}+14x [/mm] $
> Ableitung der Komposition:
> $ [mm] f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}\cdot{}(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{2\cdot{}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}=-\bruch{x(10x^{2}+7)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}} [/mm] $
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Hallo,
> > Ist das so besser?
> >
> > 4. h(x)=f [mm]\circ g(x)=f(g(x))=(\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9})^{-1}=\bruch{1}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
>
> >
> > Äussere Funktion: [mm]f(y)=\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm]
> > Innere Funktion: [mm]g(x)=5x^{4}+7x^{2}+9[/mm]
> > Äussere Ableitung: [mm]f'(y)=-\bruch{1}{2\wurzel{y}}[/mm]
>
> Das stimmt nicht
>
> FRED
>
> Somit bin ich ab hier verwirrt! :) Wo liegt denn im
> Folgenden dwer Fehler?
Die Ableitung der inneren Funktion stimmt, die der äußeren ist falsch!
Mit [mm]f(y)=\frac{1}{\sqrt y}=y^{-\frac{1}{2}}[/mm] ist
[mm]f'(y)=-\frac{1}{2}\cdot{}y^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{y^3}}[/mm]
>
> > Innere Ableitung: [mm]g'(x)=20x^{3}+14x[/mm]
> > Ableitung der Komposition:
> >
> [mm]f'(g(x))g'(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}\cdot{}(20x^{3}+14x)=-\bruch{20x^{3}+14x}{2\cdot{}\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}=-\bruch{x(10x^{2}+7)}{\wurzel{5x^{4}+7x^{2}+9}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Ohje. Jetzt hab ichs auch :) .. wenns mal wieder länger dauert....
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