Ableitungen auf einem Interval < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 01.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | Es seien [mm]f, g[/mm] auf einem Interval [mm]I \subseteq \IR[/mm] differenzierbare Funktionen mit [mm]f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm].
Ermitteln Sie die Ableitung von [mm]y(x) := f(x)^{g(x)}[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm]. |
Hallo zusammen,
diese Frage wurde zum Thema Differenzierbarkeit und Stetigkeit gestellt und ist der 2. Teil einer Anfangs recht einfachen Aufgabe. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. einer von Euch vielleicht?
Viele Grüße
~ pawlow
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend
also du hast [mm] $y(x)=f(x)^{g(x)}$ [/mm] mit $f(x)>0 \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I$. Das ist ja da gleiche wie [mm] $\exp(\ln(f(x)^{g(x)})$, [/mm] wobei $exp$ die $e-funktion$ ist. Es gilt ja [mm] $e^{\ln(x)}=x$. [/mm] Vereinfache jetzt den obigen Term und wende dann die Kettenregel an
Einen schönen Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 01.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Vielen Dank, aber ich weiss überhaupt nicht, wohin die Reise soll. Warum erweitern? Wie soll ich denn jemals auf solche Dinge kommen? Und selbst vereinfachen kann ich diesen Ausdruck nicht... ;(
Ich glaube ich sollte einfach diese Aufgabe entweder ignorieren oder einfach viel mehr lesen. Trotzdem vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pawlow!
> Warum erweitern?
Hier wird nicht "erweitert", sondern die e-Funktion und seine Umkehrfunktion angewendet.
Dies geschieht, weil man (verketteten) e-Funktionen auch die Ableitung bestimmen kann.
> Wie soll ich denn jemals auf solche Dinge kommen?
Jetzt hast du es mal gesehen und solltest es Dir merken.
> Und selbst vereinfachen kann ich diesen Ausdruck nicht...
Wende eines der  Logarithmusgesetze an:
[mm] $$\left[ \ e^{\ln f(x)} \ \right]^{g(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{g(x)*\ln f(x)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 01.02.2009 | | Autor: | pawlow |
ok, danke, das habe ich soweit verstanden. Mein Ergebnis lautet wie folgt:
[mm]\left(\frac{f'(x) g(x)}{f(x)}+\ln f(x) g'(x)\right) ~e^{g(x) \ln f(x)}[/mm]
Sowas kann doch kein Ergebnis sein! Naja, es geht ja hier nicht um die Sinnhaftigkeit solcher Aufgaben :)
Also herzlichen Dank nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo pawlow!
Das sieht gut und richtig aus.
Du musst bedenken: es handelt sich mit [mm] $[f(x)]^{g(x)}$ [/mm] um eine sehr allgemeine Darstellung, so dass auch das Ergebnis sehr allgemein (und komplex) ist.
Für speziellere $f(x)_$ oder $g(x)_$ vereinfacht sich die o.g. Formel dann deutlich.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 01.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Das gibt Mut!
Viele Grüße und eine gute Nacht
~ Pawlow
PS: Mein Name ist Programm, ich lerne durch Konditionierung ;)
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