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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen:
a) f(x)=sin(x)*cos(x)
b) [mm] f(x)=(sin(x))^2
[/mm]
c) [mm] (e^x*cos(x))
[/mm]
d)f(x)=x*sinh(x)*sin(x)
[mm] e)f(x)=\bruch{sin(x)}{(cos(x))^2}
[/mm]
[mm] f)f(x)=\bruch{log(x)}{x^2}
[/mm]
[mm] g)f(x)=\bruch{1}{ln(x)} [/mm] |
Hallo.
Die o.g Aufgaben habe ich gelöst und ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüberschauen könntet.
Da es relativ viele Aufgaben sind, müsst ihr natürlich nicht alle kontrollieren!
Meine Rechenwege:
a) f(x)=sin(x)*cos(x)
Produktregel anwenden
[mm] \Rightarrow [/mm] cos(x)*cos(x)+ -sin(x)*sin(x)= [mm] cos^2(x)+(-1)*sin^2(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
[/mm]
b) Kettenregel:
f(x)= [mm] (sin(x))^2
[/mm]
f'(x)= 2*(sin(x))*cos(x)
-> Hier eine Frage zu. Ich gehe davon aus, dass
[mm] sin^2(x)\not= (sin(x))^2 [/mm] .
Was heißt denn dann [mm] (sin(x))^2 [/mm] genau? [mm] sin^2(x^2)?
[/mm]
c)Kettenregel und Produktregel:
[mm] f(x)=(e^x*cos(x))^2
[/mm]
[mm] f'(x)=2*(e^{x}*cos(x))*e^x*cos(x)+e^x*-sin(x)
[/mm]
[mm] cos(x)*2e^x*e^x*(cos(x)-sin(x))=2e^2x*(cos(x)-sin(x))*cos(x)
[/mm]
d) Produktregel anwenden
f(x)=x*sinh(x)*sin(x)
f'(x)=1*sinh(x)*sin(x)+cosh(x)*sin(x)*x+sinh(x)*cos(x)*x
e) Kettenregel und Quotientenregel
[mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{(cos(x))^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cos(x)*cos^2(x)-2*(cos(x))*-sin(x)*sin(x)}{((cos(x))^2)^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cos^3(x)+(-1)*2*cos(x)*(-1)sin^2(x)}{cos^4(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cos^3(x)+2*cos(x)*(-1)*(-1)*son^2(x)}{cos^4(x)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{cos(x)*(cos^2(x)*sin^2(x)}{cos(x)*cos^3(x)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^3(x)}
[/mm]
Hier könnte ein Vorzeichenfehler drin sein...
f)Einfach Quotientenregel anwenden.
[mm] f(x)=\bruch{log(x)}{x^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{x^(-1)*x^2}-2x*ln(x){x^4}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{x-2x*ln(x)}{x^4}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{x(1-2ln(x)}{x^4}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-2ln(x)}{x^3}
[/mm]
g) Quotientenregel
[mm] f(x)=\bruch{1}{ln{x}
f'(x)=\bruch{-\bruch{1}{x}}((ln(x))^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{x}*\bruch{1}{(ln(x))^2}=\bruch{-1}{x*(ln(x))^2}
[/mm]
Ich würde mich über Antworten freuen.
Danke im Voraus :)
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Hallo und danke für die Korrekturen.
c) $ [mm] f'(x)=2\cdot{}(e^{x}\cdot{}cos(x))\cdot{}e^x\cdot{}cos(x)+e^x\cdot{}-sin(x) [/mm] $
[mm] f'(x)=(2e^x*cos(x))*(e^x*(cos(x)-sin(x))
[/mm]
f'(x)= [mm] 2e^x*(e^x*(cos(x)-sin(x))*cos(x)
[/mm]
Dann komme ich aber auch wieder auf:
2e^2x*(cos(x)-sin(x)*cos(x)
Ich weiß nicht wo hier mein Fehler liegt :/
e)$ [mm] f'(x)=\bruch{cos^3(x)+2\cdot{}cos(x)\cdot{}(-1)\cdot{}(-1)\cdot{}son^2(x)}{cos^4(x)} [/mm] $
Es gilt ja das Kommutativgesetz, also kann ich die einzelnen Terme umordnen, wie auch das Distributivgesetz anwenden.
(-1)*(-1)=1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{cos^3(x)+2cos(x)*sin^2(x)}{cos^4(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cos(x)*(cos^2(x)+2*sin^2(x)}{cos*cos^3(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)}
[/mm]
Auch hier wieder das selbe Ergebnis.
Also muss ich hier wohl früher einen Fehler gemacht haben?
Ich sehe gerade wirklich meine Fehler nicht.
Ich würde mich über einen Verweis auf Rechenfehler freuen(hört sich komisch an).
Viele Grüße und danke vielmals :)
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Korrekturen.
>
> c)
> [mm]f'(x)=2\cdot{}(e^{x}\cdot{}cos(x))\cdot{}e^x\cdot{}cos(x)+e^x\cdot{}-sin(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(2e^x*cos(x))*(e^x*(cos(x)-sin(x))[/mm]
> f'(x)= [mm]2e^x*(e^x*(cos(x)-sin(x))*cos(x)[/mm]
>
> Dann komme ich aber auch wieder auf:
> 2e^2x*(cos(x)-sin(x)*cos(x)
Hier hast Du eine 2 vergessen:
[mm]2e^{2x}*( \ cos^{\blue{2}}(x)-sin(x)*cos(x) \ )[/mm]
>
> Ich weiß nicht wo hier mein Fehler liegt :/
>
> e)[mm] f'(x)=\bruch{cos^3(x)+2\cdot{}cos(x)\cdot{}(-1)\cdot{}(-1)\cdot{}son^2(x)}{cos^4(x)}[/mm]
>
> Es gilt ja das Kommutativgesetz, also kann ich die
> einzelnen Terme umordnen, wie auch das Distributivgesetz
> anwenden.
>
> (-1)*(-1)=1
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{cos^3(x)+2cos(x)*sin^2(x)}{cos^4(x)}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{cos(x)*(cos^2(x)+2*sin^2(x)}{cos*cos^3(x)}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)}[/mm]
Das stimmt doch.
>
> Auch hier wieder das selbe Ergebnis.
> Also muss ich hier wohl früher einen Fehler gemacht
> haben?
>
> Ich sehe gerade wirklich meine Fehler nicht.
> Ich würde mich über einen Verweis auf Rechenfehler
> freuen(hört sich komisch an).
>
> Viele Grüße und danke vielmals :)
Gruss
MathePower
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Hallo und danke für die Antwort.
Dann habe ich nur noch eine kleine Frage.
Diesen Term hier:
$ [mm] f'(x)=\bruch{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)} [/mm] $
kann ich doch umschreiben in:
[mm] f'(x)=\bruch{cos^2(x)+sin^2(x)+sin^2(x)}{cos^3(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1+sin^2(x)}{cos^3(x)}
[/mm]
Stimmt das ?
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Dann habe ich nur noch eine kleine Frage.
>
> Diesen Term hier:
> [mm]f'(x)=\bruch{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)}[/mm]
>
> kann ich doch umschreiben in:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{cos^2(x)+sin^2(x)+sin^2(x)}{cos^3(x)}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1+sin^2(x)}{cos^3(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das ?
Ja klar!
>
> Viele Grüße
Ebenso
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
