Ableitungen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 03.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mal wieder!
Ich habe noch nie den Unterschied zwischen den einzelnen Zeichen verstanden, die man für die Ableitung benutzt. Irgendwann bin ich dann mal halbwegs klargekommen, wenn sie irgendwo standen, aber wirklich verstanden habe ich es immer noch nicht. Vielleicht kann mir ja mal jemand erklären, wann man df schreibt und wann eher [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und so.
Vielleicht auch hier an diesem Beispiel aus der Vorlesung (es war der Anfang eines Beweises):
Sei f [mm] \IC-diffbar [/mm] in a mit [mm] df(a)\in\IC.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] df(a) = [mm] \lim_{h\to 0}_{h\in\IC}\bruch{1}{h}[f(a+h)-f(a)]
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\partial f}{\partial x}(a) [/mm] = [mm] \lim_{t\to 0}_{t\in\IR}\bruch{1}{t}[f(a+t)-f(a)] [/mm] = f'(a)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(a) [/mm] = [mm] \lim_{t\to 0}_{t\in\IR}\bruch{1}{it}[f(a+it)-f(a)]i [/mm] = if'(a)
Warum steht hier auf der rechten Seite quasi zweimal das Gleiche, nur einmal halt mit h und dann mit t? Und was genau bedeutet denn jetzt das d bzw. das [mm] \partial? [/mm] Und was ist denn dann f'??
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 03.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bastiane,
die partiellen Ableitung [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$ [/mm] ist halt der Grenzwert des Differenzenquotienten in $a$, wenn man entlang sich $a$ parallel zur Realachse nähert. Entsprechend ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(a)$ [/mm] der Grenzwert wenn man parallel zur Imaginärachse den Differenzenquotient bildet. $df(a)$ gibt aber den Grenzwert des Differenzenquotienten an, wenn man in Richtung $h$ den Differenzenquotienten bildet.
Wenn du dies bedenkst sollte dir auch klar sein, warum man für $df(a)$ dann den Zähler mit $f(a+h)-f(a)$ bildet, aber für [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$ [/mm] im Zähler $f(a+t)-f(a)$ mit [mm] $t\in \IR$ [/mm] wählen kannst.
Da ja deine Funktion komplexdifferenzierbar sein soll, heißt dass, das egal in welcher Richtung du dich dem Punkt $a$ näherst immer der gleiche Grenzwert existiert, diesen nennt man $df(a)=f'(a)$.
So, ich hoffe mal meine Erinnerungen aus dem Studium sind nicht völlig falsch 
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Max!
Danke schon mal für deine schnelle Antwort!
Wenn ich das jetzt also richtig verstanden habe, dann gehe ich bei [mm] \partial [/mm] immer quasi entlang einer Achse, und bei d in eine ganz beliebige Richtung? Ist das richtig so? Und wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist es egal, in welche Richtung ich gehe, und der Grenzwert des Differenzenquotienten ist immer gleich? Aber was ist denn, wenn [mm] df(a)\not=f'(a)? [/mm] Heißt das dann, dass keine Ableitung existiert? Oder was ist dann df - hat das einen Namen? (Also f' ist für mich immer die Ableitung der ganzen Funktion - etwas unmathematisch ausgedrückt...)
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") <- damit wir morgen wieder schönes Wetter haben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 04.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke schon mal für deine schnelle Antwort!
> Wenn ich das jetzt also richtig verstanden habe, dann gehe
> ich bei [mm]\partial[/mm] immer quasi entlang einer Achse, und bei d
> in eine ganz beliebige Richtung?
Das erste stimmt - das sind einfach partielle Ableitungen, hier musst du die Funktion quasi als Funktion [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm] betrachten, und einfach partiell ableiten, das sagt dieser Operator.
[mm]df(a)[/mm] ist das Differential im Punkt a - sprich: die Lineariserung, sprich: ein Homomorphismus von [mm]\IC\to \IC[/mm], und der sollte, wenn komplex diffbar, [mm]\IC[/mm]-linear sein. Tja, und eben alle solchen Homs sind ebend durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl, im Speziellen hier [mm]f'(a)[/mm], gegeben.]
> Ist das richtig so? Und
> wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist es egal, in
> welche Richtung ich gehe, und der Grenzwert des
> Differenzenquotienten ist immer gleich?
Naja, nein. Das sieht man schon an deinen Gleichungen. Das eine ist halt einfach ein Grenzwert in [mm]\IC[/mm], das andere partielle Ableitungen, die eben nicht alle den gleichen Wert haben. Cauch Rimeannsche Diff.gleichung halt.
> Aber was ist denn,
> wenn [mm]df(a)\not=f'(a)?[/mm]
Sie sind eh nicht genau das gleiche, aber so aehnlich, dass beide nur zur gleichen Zeit existieren. (Was ist der Unterschied?)
> Heißt das dann, dass keine Ableitung
> existiert? Oder was ist dann df - hat das einen Namen?
Differntial - wird aber erst auf Mangifaltigkeiten spassig
> (Also f' ist für mich immer die Ableitung der ganzen
> Funktion - etwas unmathematisch ausgedrückt...)
Aber eigtl. richtig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
> > Ist das richtig so? Und
> > wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist es egal, in
> > welche Richtung ich gehe, und der Grenzwert des
> > Differenzenquotienten ist immer gleich?
>
> Naja, nein. Das sieht man schon an deinen Gleichungen. Das
> eine ist halt einfach ein Grenzwert in [mm]\IC[/mm], das andere
> partielle Ableitungen, die eben nicht alle den gleichen
> Wert haben. Cauch Rimeannsche Diff.gleichung halt.
Doch, Christiane hat schon Recht! Alle Richtungsableitungen sind gleich, wobei wir von komplexen Richtungen reden!!! Wenn ich mich also entlang der imaginären Achse bewege, muss ich mich ja konsequenterweise mit $ih$, $h [mm] \in \IR$, [/mm] gegen $0$ bewegen und den entsprechenden Differentialquotienten betrachten, also durch $ih$ teilen, was im Körper [mm] $\IC$ [/mm] natürlich geht, dagegen nicht in [mm] $\IR^2$. [/mm] Was man aber bei den reellen partiellen Ableitungen macht, ist eben etwas anderes! Dort betrachte ich zwar auch $ih$, lasse aber dann nur $h$ gegen $0$ streben und teile im Prinzip nur durch $h$ beim Differenzenquotienten. Dadurch kommt dann halt ein $i$ mit rein. Daher stimmt die Ableitung nach $y$ nicht mit der eigentlichen Richtungsableitung in Richtung der imaginären Achse überein.
Aber Christianes Bemerkung war schon richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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