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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | | Differenziere f(x)=x/(1+x²) dreimal ! |
f´(x)= 1-x²/[(1+x²)²]
f´´(x)= -2x(-x²+3)/[(1+x²)³]=2x³-6x/[(1+x²)³]
f´´´(x)-->
g´(x)=6x²-6
h´(x)=3(1+x²)2x
f´´´(x)=[6x²-6*[(1+x²)³]-2x³-6x*3(1+x²)2x]/[(1+x²)³]²
das hab ich mir herausgeknobelt :) kann das stimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
soso, geknobelt hast du also 
[mm] f(x)=\bruch{x}{1+x²}
[/mm]
> f´(x)= [mm] 1-x²/[(1+x²)²]=\bruch{1-x²}{(1+x²)²} [/mm]
stimmt!
Mhhh, erst einmal meinen Respekt  , dass du die erste Ableitung durch Knobeln und ohne Anwendung der Quotientenregel berechnen konntest.
Bei der 2. und 3. Ableitung würde ich dir aber die ![[]](/images/popup.gif) Quotientenregel
empfehlen. Deine 2. Ableitung ist nicht richtig.
Sehe gerade, dass du bei der 3. Ableitung die Quotientenregel anwendest, das Ergebnis ist jedoch nicht richtig, weil die 2. Ableitung ja nicht stimmt - Ein Folgefehler also.
Du musst auch aufpassen, dass du die Klammern richtig setzt. Du hast bei deiner 3. Ableitung vom Prinzip her die Quotientenregel korrekt angewandt, jedoch vergessen, an der ein oder anderen Stelle Klammern zu setzen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
hm. ich komme auf diese 2.ableitung [mm] y''(x)=\bruch{-2x(1+x²)²-(1-x²)(2(1+x²)2x)}{(1+x²)^4}
[/mm]
stimmt das?oder wieder falsch?was mach ich denn falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
schöööön :)
so das würde ich jetzt noch vereinfachen
[mm] y''(x)=\bruch{-2x(1+x²)²-(1-x²)(2(1+x²)2x)}{(1+x²)^4}=\bruch{-2x-(1-x²)(4x)}{1+x²}=\bruch{4x³-6x}{1+x²}
[/mm]
und jetzt die 3.ableitung:
[mm] y'''(x)=\bruch{(12x-6)(1+x²)-(4x³-6x)(2x)}{(1+x²)²}
[/mm]
stimmt das???
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Hallo haZee!
> [mm]y''(x)=\bruch{-2x(1+x²)²-(1-x²)(2(1+x²)2x)}{(1+x²)^4}=\bruch{-2x-(1-x²)(4x)}{1+x²}=\bruch{4x³-6x}{1+x²}[/mm]
Du hast im ersten Schritt des Zusammenfassens etwas zu großzügig gekürzt. Es muss heißen:
$$y'' \ = \ [mm] \bruch{-2x*\left(1+x^2\right)^2-\left(1-x^2\right)*2*\left(1+x^2\right)*2x}{\left(1+x^2\right)^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x*\left(1+x^2\right)^{\red{1}}-\left(1-x^2\right)*2*\red{1}*2x}{\left(1+x^2\right)^{\red{3}}} [/mm] \ = \ ...$$
Kontrollergebnis: $y'' \ = \ [mm] \bruch{2x^3-6x}{\left(1+x^2\right)^3}$
[/mm]
Guß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
ja, ok, verstehe. :)
dann ist also die 3.ableitung: [mm] \bruch{(-6+6x)(1+x²)³-(-6x+2x³)(3(1+x^{4})(2x)}{(1+x²)^{6}}
[/mm]
kann man das vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Das ist falsch !
Du hast die Ableitung von [mm] 2x^3-6x [/mm] und die Ableitung von [mm] (1+x^2)^3 [/mm] falsch !
Also noch mal rechnen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
(-6x+2x³)´=-6+6x²
((1+x²)³)´=3(1+x²)²*2x
oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
[mm] y´´´(x)=\bruch{(-6+6x²)(1+x²)³-(-6x+2x³)(3(1+x²)²(2x)}{(1+x²)^{6}}
[/mm]
oder wieder falsch?
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Das ist jetzt soweit richtig.
Nun solltest Du aber noch zusammenfassen. Die Potenz im Nenner wird kleiner werden, und am Ende kannst Du noch eine 6 (oder -6) ausklammern, um eine ganz übersichtliche 3.Ableitung zu haben...
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
so ich hab jetzt ein bisschen rumgerechnet...
ich komm auf so eine vereinfachung:
[mm] \bruch{-6(1-7x²+2x^{4}-5x^{6}+x^{8})}{1+x^{12}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Gauss |
Hallo haZee!
Irgendwas stimmt da nicht. Die dritte Ableitung ist
[mm] -\bruch{6*(x^{4}-6x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
Gauss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
hm...nagut. dann werde ich noch ein bisschen knobeln :)
danke!
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