Ableitung von sinh^-1 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sinh : [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R
Zeigen sie: sinh ist bijektv und besitzt eine diffbare Umkehrabbildung |
Hi
kurze Frage:
Reicht es dass ich eine Abbildung [mm] $sinh^{-1}$ [/mm] finden kann, sodass:
$ sinh(x) [mm] \circ sinh^{-1}(x) [/mm] = [mm] sinh(x)^{-1} \circ [/mm] sinh(x) = x $ um die Bijktivität zu zeigen?
Ich meine mich daran zu erinnern dass wir das am Anfang vom Semester mal gesagt haben, finde es leider aber gerade nicht.
Oder muss ich Injektivität und Surjektivität einzeln zeigen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Die surjektivität und injektivität einzeln zu prüfen ist wohl einfacher als eine Umkehrabbildung anzugeben. Das ist mehr rechenarbeit.
Da du die aber eh brauchst kannst du es natürlich auch direkt über die Umkehrabbildung machen.
Es ist [mm] $sinh:=\frac12(e^x-e^{-x})$
[/mm]
Du musst nun [mm] $x=\frac12(e^y-e^{-y})$ [/mm] nach y auflösen. Dann hast du deine Umkehrabbildung gefunden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:01 Mo 19.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Zeige die Bijektivität von [mm] f:=\sinh [/mm] zu Fuß.
Die Angabe der Umkehrfunktion ist nicht verlangt !
Dass die Umkehrfunktion von [mm] f:=\sinh [/mm] differenzierbar ist, folgt aus dem Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion.
Dazu ist zu prüfen, ob $f'(x) [mm] \ne [/mm] 0$ ist für alle x.
FRED
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