Ableitung von f(x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 16.09.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Beweise oder widerlege:
Sei die Steigung der Funktion g im Punkt a Null [mm] (g'(a)=0) [/mm], dann ist die Steigung der Funktion f in diesem Punkt auch Null, und f ist definiert als
[mm]1. f(x)=[g(x)]^2 [/mm]
und
[mm]2. f(x)=\bruch{g(x)}{x}, x \not= 0 [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ein Schüler kam zu mir mit dieser Aufgabe und ich muss zu meiner Schande bekennen, dass ich diesen Beweis nicht kann, ich weiss nicht, wie ich die Ableitung von f(a) ermitteln kann.
Meine Idee ist Folgende:
Ich muss also zeigen, dass [mm] f'(a)=0 [/mm]
Zu 1.
Ist [mm] f'(a) = 2[g(x)] [/mm] oder ist [mm] f'(a)=g'(a) \cdot g'(a) [/mm]
Zu 2:
Ist [mm] f'(a) = \bruch{-g(x)}{x^2} [/mm] oder ist [mm] f'(a)=\bruch{g'(a)}{x} [/mm]
Oder ist das alles falsch ? Kann mir bitte jemand helfen ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 16.09.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Loddar,
VIELEN VIELEN DANK für die Erklärung und den tollen Link.
Jetzt weiss ichs wieder 
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 16.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im ersten Fall kannst du entweder mit der Kettenregel oder der Produktregel arbeiten.
Also:
Produktr.:
[mm] f(x)=[g(x)]²=\underbrace{g(x)}_{u}*\underbrace{g(x)}_{v}
[/mm]
Somit: [mm] f'(x)=\underbrace{g(x)}_{u}*\underbrace{g'(x)}_{v'}+\underbrace{g'(x)}_{u'}*\underbrace{g(x)}_{v}=2g(x)*g'(x)
[/mm]
Also:
f'(a)=2*g(a)*g'(a)
Per Kettenregel:
f(x)=[g(x)]²
Nehmen wir h(y)=y² als äussere Funktion und g(x) als innere Fkt. ergibt sich:
[mm] f'(x)=\underbrace{2*g(x)}_{\text{Äussere Abl.}}*\underbrace{g'(x)}_{\text{Innere Abl.}}
[/mm]
Für Aufgabe 2 brauchst du die Quotientenregel oder alternativ auch wieder die Produktregel:
Also entweder: [mm] f(x)=\underbrace{\bruch{1}{x}}_{u}*\underbrace{g(x)}_{v}
[/mm]
oder: [mm] f(x)=\bruch{\overbrace{g(x)}^{u}}{\underbrace{x}_{v}}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 16.09.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marius,
VIELEN VIELEN DANK
für die tolle Erklärung !
LG, Susanne.
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hi, ich hab auch noch eine kurze frage.
obige bedinungen(2.) gelten, dann:
g(x) = f(x) * x
g'(x) = f'(x) * x + f(x)
0 = f'(x) * x + f(x)
[mm] \bruch{-f(x)}{x} [/mm] = f'(x) und da x [mm] \not= [/mm] 0
falls f(x) = 0 dann f'(x) = 0
falls f(x) [mm] \not= [/mm] 0 dann f'(x) [mm] \not= [/mm] 0
stimmt das ?
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für x a einsetzten, war etwas schlampig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo onthenighshift!
Das kann man so machen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Ist $f'(a) \ = \ 0$ mit der genannten Bedingung $g'(a) \ = \ 0$ also allgemeingültig?
Gruß
Loddar
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Kettenregel