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| Aufgabe | Ermitteln Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{3x-6}{(5-2x)^2} [/mm] |
Hallo ich habe ein BWL-Studium angefangen und blicke schon nach der ersten Woche in Mathe nicht mehr komplett durch. Ich hoffe ich bin im richtigen Unterfourm gelandet.
Also mit Hilfe der Quotientenregel kommen ich auf folgendes Ergebnis:
f'(x) = [mm] \bruch{3*(5-2x)^2 - (3x-6)*(8x-20)}{(5-2x)^4} [/mm]
Wenn ich den Zähler jetzt noch ausmultiplizer und zusammenfasse komme ich auf folgendes Ergebnis:
f'(x) = [mm] \bruch{-12x^2+48x-45}{(5-2x)^4} [/mm]
Lösung soll jedoch folgendes sein:
f'(x) = [mm] \bruch{6x-9}{(5-2x)^3} [/mm]
Da der Nenner von meiner Ableitung und der Lösung fast der gleiche ist (nur eine Potenz kleiner), vermute ich, dass ich das Ganze irgendwie kürzen muss. In meiner ersten Ableitung ist die (5-2x) ja auch vorhanden. Allerdings ist das ganze eine Differenz in der ich nicht kürzen darf.
1. Frage: sind meine Ableitungen soweit richtig?
2. Frage: komme ich auf die Lösung indem ich kürze?
3. Frage: wenn ja, wie klammer ich den Zähler richtig aus (damit hatte ich schon immer Probleme) um kürzen zu können?
Sofern ich völlig falsch liege bin ich für jeden Tipp sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ermitteln Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
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> f(x) = [mm]\bruch{3x-6}{(5-2x)^2}[/mm]
> Hallo ich habe ein BWL-Studium angefangen und blicke schon
> nach der ersten Woche in Mathe nicht mehr komplett durch.
> Ich hoffe ich bin im richtigen Unterfourm gelandet.
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> Also mit Hilfe der Quotientenregel kommen ich auf folgendes
> Ergebnis:
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> f'(x) = [mm]\bruch{3*(5-2x)^2 - (3x-6)*(8x-20)}{(5-2x)^4}[/mm]
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> Wenn ich den Zähler jetzt noch ausmultiplizer und
> zusammenfasse komme ich auf folgendes Ergebnis:
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> f'(x) = [mm]\bruch{-12x^2+48x-45}{(5-2x)^4}[/mm]
>
> Lösung soll jedoch folgendes sein:
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> f'(x) = [mm]\bruch{6x-9}{(5-2x)^3}[/mm]
>
> Da der Nenner von meiner Ableitung und der Lösung fast der
> gleiche ist (nur eine Potenz kleiner), vermute ich, dass
> ich das Ganze irgendwie kürzen muss. In meiner ersten
> Ableitung ist die (5-2x) ja auch vorhanden. Allerdings ist
> das ganze eine Differenz in der ich nicht kürzen darf.
>
> 1. Frage: sind meine Ableitungen soweit richtig?
Deine Ableitung hast du richtig berechnet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> 2. Frage: komme ich auf die Lösung indem ich kürze?
Genau. Allerdings ist es schwer, bei deiner Endform f'(x) = [mm]\bruch{-12x^2+48x-45}{(5-2x)^4}[/mm] der Ableitung noch zu kürzen. Du musst, wenn du die Quotientenregel anwendest und der Nenner schon eine Potenz > 1 hat, schon während des Zusammenfassens kürzen!
> 3. Frage: wenn ja, wie klammer ich den Zähler richtig aus
> (damit hatte ich schon immer Probleme) um kürzen zu
> können?
Ich zeig es dir:
f'(x) = [mm]\bruch{3*\red{(5-2x)}^2 - (3x-6)*2*\red{(5-2x)}*(-2)}{(5-2x)^4}[/mm]
An dieser Stelle, wo du nur die Quotientenregel angewendet hast, kannst du es besser sehen, was man kürzen kann: In jedem Summanden des Zählers tritt ein (5-2x) als Faktor auf, das kannst du nun ausklammern:
f'(x) = [mm]\bruch{(5-2x)*\Big(3*(5-2x) - (3x-6)*2*(-2)\Big)}{(5-2x)^4}[/mm]
Und nun mit dem Nenner kürzen:
f'(x) = [mm]\bruch{3*(5-2x) - (3x-6)*2*(-2)}{(5-2x)^3}[/mm]
Nun kommst du auf das richtige, gekürzte Ergebnis 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 18.10.2009 | | Autor: | lowskilled |
So ähnlich hatte ich mir das auch gedacht. Nur seh ich meistens nicht wo ich am einfachsten ausklammern muss.
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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