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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Di 19.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Hallihallo zusammen!
Beschäftige mich gerade mit der Frage, wie wohl die Ableitung der Abbildung [mm] M_{n} [/mm] ( [mm] \IR) \to M_{n} [/mm] ( [mm] \IR) [/mm] mit A [mm] \mapsto A^{2} [/mm] aussieht. Allerdings soll ich dafür zuerst herausfinden, wo die überhaupt differenzierbar ist. Doch meiner Meinung nach scheint das überall der Fall zu sein... allerdings würde dann sicher nicht so eine Frage gestellt, nehme ich mal an. Handelt sich um Übungsaufgeben und die sollten ja eigentlich nicht verwirren... Doch das bin ich jetzt leider...
Hätte einfach so argumentiert: A' = ( [mm] \partial [/mm] a_11, partial a_12,...)
Kann mir da jemand helfen? Wäre supi!!! Dankeschön im Voraus!
Euer Brinchen 
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also da ich nicht soviel schreiben will, hier der lösungsansatz mit lösungen, dann kannst du selbst rechnen und korrigieren ;)
angenommen die abbildung wäre überall differenzierbar, dann müsste nach kettenregel für beliebige A,B [mm] \in [/mm] M(n x n, [mm] \IR) [/mm] gelten:
[mm] Df(A)(B)=\bruch{d}{d\lambda}(f(A+ \lambda B))|_{\lambda=0}
[/mm]
(prüfe dies nach)
jetzt rechnest du die rechte seite aus (funktionswert ausrechnen) und du bekommst:
Df(A)(B)=AB+BA
jetzt darfst du aber nicht versäumen zu beweisen, dass die dadurch definierte lin. abbildung
Df(A) auch tatsächlich die ableitung von f an der stelle A ist. das machst du mithilfe der definition, es muss also gelten:
[mm] \limes_{B \rightarrow 0} \bruch{f(A+B)-f(A)-Df(A)B}{\parallel B \parallel}=0
[/mm]
beweise dies und du bist fertig...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Di 19.07.2005 | | Autor: | SEcki |
Wie man noch auf die lineare Abbildung [m]A*B+b*A[/m] kommt:einfach einsetzen, dh wir stören am "Punkt" A die Funktion um eine Matrix H, dann gilt: [m](A+H)^2=A^2+A*H+H*A+H^2[/m]. Das ist eigentlich genau wie bei der normalen Quadratur. Da die lineare Abbildung eindeutig ist, sieht man hier auch, wie man was setzen muss, und muss sich eiegntlich blos überezuegn daß [m]\bruch{||H^2||}{||H||}\le\bruch{||H||^2}{||H||}=||H||[[/m] ist. (Für eine passende Norm natürlich!). Als Ergänzungsaufgabe kannst du ja mal zeigen: [m]A\mapsto A^n[/m] ist überall diffb. und das Differential ausrechnen! (oder zu mindest mal überlegen, wie man das machen muss.)
SEcki
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