Ableitung von Betragsfunktione < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 17.04.2005 | | Autor: | Hissl |
Brauche dringend hilfe bitte
Frage: sind folgende Fkten. an x0 = 0 stetig bzw. diffbar.
stetigkeit ist ja kein Problem aber wie schaue ich ob die diffbar sind ??
1.F(x)= |x|+1 (Und graph??)
2.F(x)= |x+1| "
3.F(x) = |x*(x-2)| "
Bitte dringend um Hilfe weiß einfach net wie ich Betrag ableiten soll da des ja -(x) oder x is
und was is wenn bei differenzierbarkeit zwei werte z.b. +-1 rauskommt
bitte um antwort
danke im voraus
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 17.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hallo Hissl,
(erst einmal wir freuen uns auch, gegrüßt zu werden  ), dann habe ich dir eine Idee, wie du selbst auf die Lösung kommen kannst; wir wollen hier ja nicht die Arbeit für dich machen, sondern dir helfen es zu verstehen und es in Zukunft selbst lösen zu können 
Du hast 3 Betragsfunktionen gegeben, die du jeweils getrennt analysieren solltest. Zuerst setzt du bei jeder Funktion für x ein paar verschiedene (positive und negative Werte) in der Umgebung vom Ursprung ein, also zum Beipspiel -2,-1,0,1,... Mach' dir am besten ein Schaubild von der Funtion zum besseren Verständnis. Für die Definition der Differenzierbarkeit empfehle ich dir den entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel, da es darin ein Schaubild gibt, das dir sicher weiterhelfen wird, wenn du Skizzen angefertigt hast. Und ließ dir den Artikel durch, da steht das Wichtigste drin.
Damit solltest du es jetzt aber schaffen, wir sind gespannt auf deine Ergebnisse,
Gruß und schönen Sonntag,
mathrix
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Hi, Hissl,
zum Nachweis der Differenzierbarkeit empfiehlt es sich, die Funktionen betragstrichfrei zu schreiben und den Beweis dann mit Hilfe der Ableitungsfunktion zu führen.
Dazu gelten folgende wichtige Regeln (die Du wohl schon kennst):
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
|x+a| = [mm] \begin{cases} x+a, & \mbox{für } x+a \ge 0 <=> x \ge -a \\ -(x+a), & \mbox{für } x+a < 0 <=> x < -a \end{cases}
[/mm]
|f(x)| = [mm] \begin{cases} f(x), & \mbox{für } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \mbox{für } f(x) < 0 \end{cases}
[/mm]
(unter Berücksichtigung der Definitionsmenge der Funktion f.)
Wie Du siehst, liegt oft das größere Problem in der Bestimmung der Gültigkeits-Bereiche der einzelnen Terme!
Sehen wir uns daraufhin Deine Beispiele an:
> 1.F(x)= |x|+1 (Und graph??)
Also: F(x) = |x| +1 = [mm] \begin{cases} x + 1, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x + 1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
(Graph: 2 Halbgeraden, die bei x=0 senkrecht aufeinanderstoßen!)
> 2.F(x)= |x+1| "
Also: F(x) = |x+1| = [mm] \begin{cases} x + 1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -(x+1) = -x-1, & \mbox{für } x < -1 \end{cases}
[/mm]
(Graph: 2 Halbgeraden, die bei x=-1 senkrecht aufeinanderstoßen!)
> 3.F(x) = |x*(x-2)| "
Also: F(x) = [mm] \begin{cases} x*(x-2), & \mbox{für } x*(x-2) \ge 0 \\ -(x*(x-2)) = -x(x-2), & \mbox{für } x*(x-2) < 0 \end{cases}
[/mm]
Hier bist Du nun noch nicht fertig:
Du musst die Ungleichungen
x*(x-2) [mm] \ge [/mm] 0 und x*(x-2) < 0 lösen!
(Dabei reicht es, eine zu lösen; damit kennst Du automatisch die Lösungsmenge der anderen!)
Ich geb' Dir mal die Lösungsmenge für x*(x-2) < 0 an:
0 < x < 2. (Nachrechnen!)
Zum Graphen dieser Funktion ist zu sagen: Er entsteht aus der Normalparabel mit der Gleichung y=x*(x-2) = [mm] x^{2}-2x [/mm] dadurch, dass das Stück zwischen x=0 und x=2 an der x-Achse gespiegelt (also "nach oben geklappt") wird.
So: Und nun bist Du dran! Schau', ob Du alles verstanden hast!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Hissl |
Danke
hab deine Lösung verstanden und denke die ist so richtig
hoffe kann auch dir mal bei einem Problem helfen
mfg hissl
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