Ableitung und Leibnizregel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für n-mal stetig differenzierbare Funktionen f,g beweise man die LEIBNITZregel für die Ableitungen
[mm] (fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}
[/mm]
Tipp: Nimm den Beweis des binomischen Lehrsatzes noch einmal unter die Lupe! |
okay, also die Leibnizregel für die Ableitungen, die nichts anderes ist als die Produktregel, lautet:
f(x)=u´*v+u*v´
Und der binomische Lehrsatz besagt: ja eigentlich das, was hier schon steht.
[mm] (f+g)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}
[/mm]
ich kann den binomischen Lehrsatz, der ja hier aufgeführt ist, mit vollständiger Induktion beweisen, aber darin sehe ich keinen Nutzen.
wie soll ich das denn mit der LEIBNIZREGEL beweisen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für n-mal stetig differenzierbare Funktionen f,g beweise
> man die LEIBNITZregel für die Ableitungen
>
> [mm](fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/mm]
>
> Tipp: Nimm den Beweis des binomischen Lehrsatzes noch
> einmal unter die Lupe!
> okay, also die Leibnizregel für die Ableitungen, die
> nichts anderes ist als die Produktregel, lautet:
> f(x)=u´*v+u*v´
>
> Und der binomische Lehrsatz besagt: ja eigentlich das, was
> hier schon steht.
>
> [mm](f+g)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/mm]
>
> ich kann den binomischen Lehrsatz, der ja hier aufgeführt
> ist, mit vollständiger Induktion beweisen, aber darin sehe
> ich keinen Nutzen.
>
> wie soll ich das denn mit der LEIBNIZREGEL beweisen?
Mit Induktion, wenn Du es nicht probiert hast, wie kannst Du dann sagen, dass Du darin keinen Nutzen siehst ?????
Zu diesem Post und einigen früheren von Dir:
Ab und zu , aber nur ab und zu , solltest Du , das was man Dir rät oder als Hinweis gibt, auch mal probieren .
FRED
|
|
|
| |
|
Doch, ich habe genau das auf geschlagenen 2 Seiten Papier mit vollständiger Induktion bewiesen, was in der Aufgabe ja nicht verlangt war. Der Beweis soll betrachtet werden, aber bewiesen werden soll mit der leibniz Regel, also der Produktregel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Doch, ich habe genau das auf geschlagenen 2 Seiten Papier
> mit vollständiger Induktion bewiesen, was in der Aufgabe
> ja nicht verlangt war. Der Beweis soll betrachtet werden,
> aber bewiesen werden soll mit der leibniz Regel, also der
> Produktregel.
Mann oh mann !
Dir wurde als Hinweis gegeben:
"Nimm den Beweis des binomischen Lehrsatzes noch einmal unter die Lupe!"
Richtig ? Was bedeutet das wohl ? Du nimmst also den Beweis des binomischen Lehrsatzes noch einmal unter die Lupe, und was machst Du dann damit ? Stopfst Du dann "das unter die Lupe nehmen" in die Mülltonne ? Oder ist es vielleicht so, dass man die Leibniz-Regel fast genauso beweisen kannst wie den binomischen Satz ?
Denk mal drüber nach.
FRED
|
|
|
| |
|
darüber habe ich ja nachgedacht, das man die so ähnlich beweisen könnte, aber ich kriege es nicht hin. Vielleicht hängt es ja an einfachen vertsändnisproblemen.
Binomische Lehrsatz heißt ja [mm] (f+g)^n
[/mm]
leibnizregel ist in dem fall aber: f´*g+f*g´und da weiß ich nicht, wie ich das änlich dem binomischen Lehrsatz und vor allem mit vollständiger Induktion beweisen kann.
Bei der Produktregel geht es ja um Ableitungen, beim binomischen Lehrsatz hat das ja nichts damit zu tun (zumindest kann ich es nicht)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist:
$ [mm] (f*g)^{(n)}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm] $ für n [mm] \in \IN
[/mm]
Der Induktionsanfang ist einfach ! Mach mal.
Induktionsvor.: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und $ [mm] (f*g)^{(n)}= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm] $
Schritt von n --> n+1:
Zeige: $ [mm] (f*g)^{(n+1)}= \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}f^{(k)}g^{(n+1-k)} [/mm] $ für n [mm] \in \IN
[/mm]
und hier sollst Du Dich am Beweis des bin. Satzes orientieren !!!
FRED
|
|
|
| |
|
Na der Induktionsanfang ist ja
[mm] (f*g)^0= [/mm] 1 = [mm] \vektor{0 \\ 0}f^0g^{(0-k)}= \summe_{k=o}^{0}\vektor{0 \\ k}f^kg^{(0-k)}
[/mm]
Und gerade das orientieren an diesem Beweis, das aber gleichzeitig wieder die leibnizregel anzuwenden, das fällt mir richtig schwer!
Den binomischen Lehrsatz so forzuführen, wie du jetzt nagefangen ahst, das ist kein Problem für mich, aber das mit der leibniz Regel....
|
|
|
| |
|
> Na der Induktionsanfang ist ja
>
> [mm](f*g)^0=[/mm] 1 = [mm]\vektor{0 \\ 0}f^0g^{(0-k)}= \summe_{k=o}^{0}\vektor{0 \\ k}f^kg^{(0-k)}[/mm]
Hallo,
nein.
Der Induktionsanfang ist [mm] (f*g)^{\red{(}0\red{)}}.
[/mm]
Was bedeutet das denn?
Die wievielte Ableitung ist das?
Also?
>
> Und gerade das orientieren an diesem Beweis, das aber
> gleichzeitig wieder die leibnizregel anzuwenden, das fällt
> mir richtig schwer!
> Den binomischen Lehrsatz so forzuführen, wie du jetzt
> nagefangen ahst, das ist kein Problem für mich, aber das
> mit der leibniz Regel....
???
Fred hat hier nirgendwo den binomischen Lehrsatz angefangen zu beweisen...
Mal von vorne:
zu beweisen ist hier die Leibnizregel.
Sie handelt davon, wie man die höheren Ableitungen von Produkten von Funktionen ausrechnen kann.
Eine Anwendung haben wir in Deinem anderen Thread gesehen.
Der binomische Lehrsatz handelt davon, wie man eine Summe potenzert. Das ist etwas völ-lig anderes.
Das einzige, was wir hier mit dem binomischen Lehrsatz am Hut haben, ist die Empfehlung, daß man diesen vor dem Versuch des Beweises der Leibnizregel nochmal gründlich durcharbeitet. Diesen Tip geben Dir Deine Chefs nicht, weil sie meinen, daß Du unausgelastet oder gelangweilt bist. Sie sagen das in der Hoffnung, daß Du manches von der Vorhehensweise dort auf Deinen jetzt anstehenden Beweis übertragen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] (f*g)^{(0)} [/mm] ist die 0. Ableitung, also die Ausgangsfunktion, wenn man es mal so benennen kann.
es soll aber die n-te Ableitung gezeicht werden.
also kann ich den Beweis, wie er schon angefangen wurde , mit Induktionsschritt fortsetzen?
Tut mir leid, wenn es hier so kompliziert ist mir was zu erklären, aber ich kriege es wirklich nicht hin. Ich wüsste jetzt nur so weiter zu machen, wie der Beweis schon angefangen wurde.
|
|
|
| |
|
> [mm](f*g)^{(0)}[/mm] ist die 0. Ableitung, also die
> Ausgangsfunktion, wenn man es mal so benennen kann.
Eben.
mach also 'nen gescheiten = richtigen Induktionsanfang.
>
> es soll aber die n-te Ableitung gezeicht werden.
Wieso "aber"? Die n-te Ableitung soll gezeigt werden.
>
> also kann ich den Beweis, wie er schon angefangen wurde ,
> mit Induktionsschritt fortsetzen?
Ja natürlich. Sonst hätte Fred Dir das doch nicht hingeschrieben.
>
> Tut mir leid, wenn es hier so kompliziert ist mir was zu
> erklären, aber ich kriege es wirklich nicht hin.
Was meinst Du jetzt mit "es"?
> Ich
> wüsste jetzt nur so weiter zu machen, wie der Beweis schon
> angefangen wurde.
Das wäre ja famos!
Dann mach doch - fast fragt man sich im Angesichte dieser Aussage nun, wo das Problem die ganze Zeit war.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
okay, dann versuche ich es mal.
Induktionsanfang: n=0
[mm] (f*g)^{(0)}= [/mm] 1= [mm] \vektor{0 \\ 0}f^0g^0= \summe_{k=0}^{n}\vektor{0 \\ k)}f^kg^{(0-k)}
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
Annahme: [mm] (f*g)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)} [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
Behauptung: [mm] (f*g)^{(n+1)}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k)}f^kg^{(n+1-k)} [/mm]
Beweis:
[mm] (f*g)^{(n+1)}=(f*g)*(f*g)^n= (f*g)*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)} [/mm]
= [mm] f*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)} [/mm] + [mm] g*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)} [/mm] (Distributivgesetz anwenden)
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k+1)}g^{(n-k)} +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n+1-k)} [/mm]
Anwenden der idnetität um die Faktoren zusammenzuführen
[mm] \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k}= \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Der Indek der linken Summe muss erhöht werden:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k+1)}g^{(n-k)} +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)} [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n \\ k-1)}f^{(k)}g^{(n-k+1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)} [/mm]
= [mm] f^{(n+1)}+ \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1)}f^{(k)}g^{(n-k+1)} +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)+g^{(n+1)}} [/mm]
= [mm] g^{(n+1)}*f^{(n+1)}+ \summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k-1)}+\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n-k+1)} [/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ 0}f^0g^{(n+1)-0} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ n+1}f^{(n+1)}g^{(n+1)-(n+1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}(\vektor{n +1\\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)} [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(\vektor{n +1\\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)} [/mm]
So...puhh, geschafft. ich hoffe, das zumindest einiges davon etwas richtig ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> okay, dann versuche ich es mal.
>
> Induktionsanfang: n=0
>
> [mm](f*g)^{(0)}=[/mm] 1= [mm]\vektor{0 \\ 0}f^0g^0= \summe_{k=0}^{n}\vektor{0 \\ k)}f^kg^{(0-k)}[/mm]
>
>
> Induktionsschritt: [mm]n\to[/mm] n+1
>
> Annahme: [mm](f*g)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)}[/mm]
> für [mm]n\in \IN[/mm]
>
> Behauptung: [mm](f*g)^{(n+1)}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k)}f^kg^{(n+1-k)}[/mm]
>
> Beweis:
> [mm](f*g)^{(n+1)}=(f*g)*(f*g)^n= (f*g)*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)}[/mm]
Das ist doch nicht richtig !! Es ist [mm] $(f*g)^{(n+1)}= ((f*g)^{(n)})'$
[/mm]
Auch weiter unten: Du behandelst die Exponenten bei f und g als wären es Potenzen. Es sind aber Ableitungen !!!!
FRED
>
> = [mm]f*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)}[/mm] +
> [mm]g*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n-k)}[/mm]
> (Distributivgesetz anwenden)
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k+1)}g^{(n-k)} +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^kg^{(n+1-k)}[/mm]
>
> Anwenden der idnetität um die Faktoren zusammenzuführen
>
> [mm]\vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k}= \vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> Der Indek der linken Summe muss erhöht werden:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k+1)}g^{(n-k)} +\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n \\ k-1)}f^{(k)}g^{(n-k+1)}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)}[/mm]
>
> = [mm]f^{(n+1)}+ \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1)}f^{(k)}g^{(n-k+1)} +\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)+g^{(n+1)}}[/mm]
>
> = [mm]g^{(n+1)}*f^{(n+1)}+ \summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k-1)}+\vektor{n \\ k)}f^{(k)}g^{(n-k+1)}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{n+1 \\ 0}f^0g^{(n+1)-0}[/mm] + [mm]\vektor{n+1 \\ n+1}f^{(n+1)}g^{(n+1)-(n+1)}[/mm]
> + [mm]summe_{k=1}^{n}(\vektor{n +1\\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)}[/mm]
>
> = [mm]summe_{k=1}^{n+1}(\vektor{n +1\\ k)}f^{(k)}g^{(n+1-k)}[/mm]
>
>
> So...puhh, geschafft. ich hoffe, das zumindest einiges
> davon etwas richtig ist
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
Ich gebe es auf, dann verstehe ich es nicht. das war meine einzige Idee, wie ich es hinkriegen würde.
Vielleicht kann es mir jemand zeigen, ich weiß einfach keinen anderen weg das zu beweisen
|
|
|
| |
|
soweit habe ich es ja verstanden, aber jetzt komme ich nicht weiter!
ich wüsste nur, dass ich jetzt n+1. also 2 zeigen muss auf die Art, wie das eben schon gezeigt wurde, oder liege ich da falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> ich wüsste nur, dass ich jetzt n+1. also 2 zeigen muss auf
> die Art, wie das eben schon gezeigt wurde, oder liege ich
> da falsch?
Ach? Und dann willst Du es für n=3 zeigen, dann für n=4, dann für n=5, dann ...
Da bist Du aber "ziemlich lange" beschäftigt.
Nein, Du sollst nun endlich das Verfahren der vollständigen Induktion anwenden und dies für n+1 zeigen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich weiß nicht, wie ich es noch anders zeigen soll, als ich durch vollständige Induktion schon gemacht habe.
ich versuche mal einen neuen Anfang und wenn der stimmt, dann kann ich damit weiter machen, ohne das es wieder Seitenweise komplett falsch ist.
[mm] (f*g)^{(n+1)}= \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}*f^{(k)}*g^{(n+1-k)} [/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ k}f^{(n)}*g^{(n+1-k)}+ \vektor{n \\ k+1}*f^{(n)}*g^{(n+k-1)}
[/mm]
stimmt das soweit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Du solltest Dich wohl zunächst mit dem Summenzeichen vertraut machen.
Denn [mm] $\summe_{k=0}^{n+1}$ [/mm] gibt eine Summe aus insgesamt $n+2_$ Summanden an; und nicht nur 2.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 18.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
beachte, dass gilt:
[mm] (f\cdot{}g)^{(n+1)}
[/mm]
[mm] =\left((f\cdot{}g)^{(n)}\right)'
[/mm]
Also gilt:
[mm] (f\cdot{}g)^{(n+1)}
[/mm]
[mm] =\left((f\cdot{}g)^{(n)}\right)'
[/mm]
[mm] =\left(\underbrace{\ldots}_{\text{Induktionsvoraussetzung}}\right)'
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ich gebs auf, ich verstehe es einfach nicht mit der vollständigen Induktion bei Ableitungen. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://www.adler-mathematik.de/4.pdf
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
wir hatten diese Aufgabe neulich in unserer Analysis-Klausur und ich war ziemlich aufgeschmissen.
den Induktionsanfang hab ich hinbekommen, aber der Induktionsschritt.. keine Ahnung. kannst du den link zu der Lösung auf Adlermathematik noch mal freigeben? Ich möchte echt gerne wissen wie der geht.
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
U.a. ![[]](/images/popup.gif) dort ist das auch vorgerechnet.
Besser: poste einen eigenen Versuch und versuche, es mit uns zusammen zu lösen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen vielen Dank Fred.
Das ist ja die gleiche Aufgab, wie ich lösen muss.
Ich werde das mal intensiv durcharbeiten.
Allerdingssehe ich auf den ersten Blick trotzdem noch nicht richtig den Unterschied zu dem, was ich mit vollständiger Induktion bewiesen habe...
Also werde ich das jetzt mal schritt für schritt durchgehen und wenn ich fragen habe(was recht wahrscheinlich ist), vielleicht finde ich dann im Forum eine Antwort darauf.
|
|
|
|
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]"){kind=small}
.. soweit zum Lesen Deinerseits zu den dutzendfachen Hinweisen!) exakt der bekannten 
Produktregel