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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:
[mm] P(w) = (ln \bruch{w^2+1}{e^w} )^20 [/mm] <-- Anmerkung: ganze Klammer soll die Potenz 20 haben, hab die richtige Darstellung nicht hinbekommen. |
Lösung muss sein:
[mm] P'(w) = 20 (ln \bruch{w^2+1}{e^w})^19 * (\bruch{2w}{w^2+1}-1) [/mm]
Nach Kettenregel rechne ich also äußere Ableitung mal innere Ableitung:
[mm] P'(w) = 20 * (ln \bruch{w^2+1}{e^w} )^19 * (ln \bruch{w^2+1}{e^w} )' [/mm]
Probleme hab ich mit der Ableitung des natürlichen Logarithmus (der inneren Ableitung):
ln [mm] \bruch{w^2+1}{e^w} [/mm]
Gemäß den Regeln die ich gefunden hab gilt: Ableitung von ln x --> [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
Wenn ich es mir also einfach mache habe ich dann für die innere Ableitung:
[mm] \bruch{1}{\bruch{w^2+1}{e^w}} [/mm] das Ganze umgeformt (Kehrwert) ergibt: [mm] \bruch{e^w}{w^2+1} [/mm]
Da das mit der Lösung nicht übereinstimmte und in der Lösung die innere Ableitung kein e enthält hab ich das ganze nochmal wie folgt umgeformt:
[mm] ln \bruch{w^2+1}{e^w} = ln (w^2+1) - ln e^w = ln (w^2+1) - w [/mm]
und das Letzte abgeleitet
[mm] \bruch{1}{w^2+1} - 1[/mm]
stimmte wieder nicht mit der Lösung überein, also dachte ich ich muss bei der Ableitung von ln x den Nenner auch direkt ableten und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \bruch{1}{2w} - 1[/mm]
Wie man sieht stimmt auch das nicht mit der Lösung überein.
1. Frage: Wie komme ich auf die innere Ableitung aus der Lösung?
2.Frage: Wo ist mein (Denk-)Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Zunächst mal: Das potenzzeichen ^ wirkt nur auf das nächste Zeichen. Sollen mehrere zeichen in der Potenz stehen, setze die einfach in geschwungene klammern:
x^{123} -> [mm] x^{123}
[/mm]
Zu deiner Aufgabe:
$ ln [mm] \bruch{w^2+1}{e^w} [/mm] = ln [mm] (w^2+1) [/mm] - ln [mm] e^w [/mm] = ln [mm] (w^2+1) [/mm] - w $
und das Letzte abgeleitet
$ [mm] \bruch{1}{w^2+1} [/mm] - 1 $
ist schonmal sehr sinnvoll! Allerdings gilt auchhier die Kettenregel, es gilt
[mm] $(\ln(w^2+1))'=\bruch{1}{w^2+1}\red{*\underbrace{(w^2+1)'}_{=2w}}$
[/mm]
That's all!
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Hab ich verstanden. Danke!
Da hätte ich den Logarithmus ja gar nicht umformen brauchen:
g(x) = ln [mm] \bruch{w^2+1}{e^w} [/mm]
Äußere Ableitung mal innere Ableitung bedeutet dann:
[mm] \bruch{e^w}{w^2+1} * \bruch{2w}{e^w} [/mm]
[mm] e^w [/mm] kürzt sich und übrig bleibt wieder: [mm] \bruch{2w}{w^2+1}[/mm]
Da stellen sich mir gleich 2 weitere Fragen:
1. Frage: Gibt es eine Übersicht aus der ich sehen kann in welchen Fällen ich die Produktregel anwenden muss? Bisher wusste ich dies nur bei Beispielen wie [mm] (x+2)^3 [/mm], also bei Potenzen.
2. Frage: [mm] ln (x+2)^2 [/mm] Kann ich da die Ableitung wie folgt bilden?
Äußere Ableitung: [mm] 2 * \bruch {1}{x+2} [/mm]
Innere Ableitung: 1
Gesamte Ableitung: [mm] \bruch {2}{x+2} [/mm]
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> 1. Frage: Gibt es eine Übersicht aus der ich sehen kann in
> welchen Fällen ich die Produktregel anwenden muss? Bisher
> wusste ich dies nur bei Beispielen wie [mm](x+2)^3 [/mm], also bei
> Potenzen.
Ich glaube, du verwechselst Produkt- und Kettenregel. Die Produktregel wird bei Produkten angewandt, wenn du also 2 Funktionen miteinander mutliplizierst, die beide von x abhängen, also bei Produkten der Form u(x)v(x) und dann gilt
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Zum Beispiel ist die Funktion [mm] xe^{x} [/mm] eine solche.
Die Kettenregel wendet man an, wenn eine Funktion in der Form f(g(x)) vorhanden ist. Deine 2. Frage soll mal als Beispiel dienen.
> 2. Frage: [mm]ln (x+2)^2[/mm] Kann ich da die Ableitung wie folgt
> bilden?
>
> Äußere Ableitung: [mm]2 * \bruch {1}{x+2}[/mm]
> Innere Ableitung:
> 1
>
> Gesamte Ableitung: [mm]\bruch {2}{x+2}[/mm]
Das ist richtig. Am besten macht man sich das klar, indem man substituiert.
In dem Fall setzt man
g(x):=x+2
und damit hat man
f(g(x)) = ln [mm] g(x)^{2} [/mm] = 2ln g(x)
f(g(x))' = f'(x)*g'(x) = [mm] \bruch{2}{x+2}
[/mm]
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Stimmt ich habe Produkt- und Kettenregel verwechselt.
Meine zweite Frage war etwas unglücklich gestellt, so dass ich noch nicht die Antwort habe die ich wollte.
Ein anderes Beispiel:
[mm] f(x) = ln (2x^3+5x)^4 [/mm]
[mm] f'(x) = 4*(\bruch{1}{2x^3+5x})^3 * (6x^2+5) [/mm]
Ist die erste Ableitung richtig? Bin mir unsicher ob bei dem Bruch der äußeren Ableitung die Potenz 3 richtig ist.
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So, wie du es geschrieben hast, gilt folgendes:
[mm]f(x) = ln (2x^3+5x)^4 = 4 * ln (2x^3+5x)[/mm] wegen einem der Logarithmengesetze und dann wäre die Ableitung:
[mm]f'(x) = 4*\bruch{6x^2+5}{2x^3+5x}[/mm], also ohne Potenz.
Wenn du allerdings den gesamten Logarithmus potenzieren möchtest, muss deine Funktion wiefolgt geschrieben werden:
[mm]f(x) = (ln (2x^3+5x))^4[/mm]
Dann können wir wieder substituieren und diesmal zweimal:
[mm]h(x) := 2x^3+5x,[/mm]
[mm]g(x) := ln(2x^3+5x) = g(h(x))[/mm]
[mm]f(x) = g(h(x))^{4} = f(g(h(x)))[/mm]
Damit ergibt sich für die Ableitung:
[mm]f'(x) = h'(x)*g'(x)*f'(x) = (6x^{2}+5x)*\bruch{1}{2x^3+5x}*4*(ln(2x^3+5x))^{3}[/mm]
Hoffentlich ist deine Frage nun beantwortet :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 18.10.2009 | | Autor: | lowskilled |
Genau das war die Frage. Ob ich nach Logarithmusgesetz die 4 nach vorne ziehe. Vielen Dank.
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