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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Di 12.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Ableitung einer Funktion, die einen Erwartungswert beinhaltet.
Die Funktion sieht in etwa so aus:
[mm]f(x)=\mathbb{E}\{pp^{\*}\}[/mm]
Dabei ist [mm]p[/mm] eine komplexe Funktion mit einer Amplitude und einer Phase. [mm]p^{\*}[/mm] ist die zu [mm]p[/mm] komplexkonjugierte Funktion. [mm]p[/mm] sieht also z.B. so aus:
[mm]p=Ae^{-jx}[/mm]
Mich interessiert nun die Ableitung von [mm]f(x)[/mm]. Wenn ich die Ableitung einfach in den Erwartungswert reinziehe, kommt immer Null raus. Und das kann laut Kontext nicht stimmen. Also schätze ich mal, dass ich die Ableitung nicht einfach so in den Erwartungswert reinziehen darf, oder?
[mm]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}f(x)=\mathbb{E}\{\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}Ae^{-jx}Ae^{jx}+Ae^{-jx}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}Ae^{jx}\}= 0[/mm]
Wie ist die korrekte Vorgehensweise und wo finde ich eine entsprechende Ableitungsregel?
Sorry, wenn ich etwas mathematisch nicht korrekt formuliert habe. Wenn was unklar ist, einfach nachfragen.
Danke, Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
> Also schätze ich mal, dass ich die Ableitung nicht einfach
> so in den Erwartungswert reinziehen darf, oder?
Im Normalfall nicht, nein. Es gibt aber Kriterien, wann das funktioniert.
Der Erwartungswert ist ja letztlich "nur" ein Integral und es gelten die gleichen Bedingungen, wie wenn man Integral und Ableitung vertauschen möchte.
> Wenn ich die Ableitung einfach in den Erwartungswert reinziehe, kommt
> immer Null raus. Und das kann laut Kontext nicht stimmen.
Es ist aber korrekt, es gilt nämlich:
[mm] $p*p^\* [/mm] = [mm] |p|^2 [/mm] = [mm] A^2$ [/mm] und damit hängt dein Erwartungswert gar nicht mehr von x ab und ist somit konstant in x.
Daher ist die Ableitung nach x korrekterweise Null.
edit: Ich hab jetzt natürlich [mm] $x\in\IR$ [/mm] vorausgesetzt. Ergo ist deine komplexe Funktion konstant im Betrag und nur die Amplitude wird variiert.
Gruß,
Gono.
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