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Forum "Uni-Analysis" - Ableitung log(1+x)
Ableitung log(1+x) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung log(1+x): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Di 09.08.2005
Autor: plauzenkater

Hellas,

ich bräuchte mal die ersten drei Ableitungen von log(1+x), zwecks Taylorreihenentwicklung. Ich bekomm immer nur Murks raus:-)
Vielen lieben dank im voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ciao Marcel
        
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Ableitung log(1+x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Di 09.08.2005
Autor: Sigrid

Hallo Marcel,
>  
> ich bräuchte mal die ersten drei Ableitungen von log(1+x),
> zwecks Taylorreihenentwicklung. Ich bekomm immer nur Murks
> raus:-)

Warum hast du deine Rechnung nicht aufgeschrieben, dann kann man besser sehen, wo es hakt.
Ich gehe mal davon aus, dass der Logarithmus sich auf eine Basis a>0 bezieht.
Damit gilt

[mm] f(x) = \log_a(1+x) = \bruch{\ln(1+x)}{\ln a} [/mm]
Die erste Ableitung ist damit

[mm] f'(x) = \bruch{1}{\ln a} \cdot \bruch{1}{1+x} [/mm]

Die weiteren Ableitungen müssten dir jetzt klar sein.

Gruß
Sigrid
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Ableitung log(1+x): Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Fr 12.08.2005
Autor: plauzenkater

Die offizielle Lösung der ersten Ableitung lautet: 1/(1+x)
Ich dachte das würde mit Kettenregel berechnet werden, bekomme dann aber [mm] 1/x+x^2 [/mm] raus.

Ein anderes Beispiel ist log(1+2x). Offizielle Lösung: 2/(1+2x)
Die 2 im Zähler kommt doch bestimmt von der inneren Ableitung?!
Wenn ich aber die Kettenregel anwende bekomme ich folgende Lösung:
[mm] 1/(2x+2x^2) [/mm]
Bezug
                        
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Ableitung log(1+x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Fr 12.08.2005
Autor: Christian

Hallo.

> Die offizielle Lösung der ersten Ableitung lautet: 1/(1+x)
>  Ich dachte das würde mit Kettenregel berechnet werden,
> bekomme dann aber [mm]1/x+x^2[/mm] raus.
>  
> Ein anderes Beispiel ist log(1+2x). Offizielle Lösung:
> 2/(1+2x)
>  Die 2 im Zähler kommt doch bestimmt von der inneren
> Ableitung?!
>  Wenn ich aber die Kettenregel anwende bekomme ich folgende
> Lösung:
>  [mm]1/(2x+2x^2)[/mm]  

Vielleicht solltest Du hier einfach mal vorrechnen, wie Du auf diese Lösung kommst. In der Tat kommt nämlich der Faktor 2 im Zähler von der Anwendung der Kettenregel, sonst aber ändert sich nichts.

Gruß,
Christian
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Ableitung log(1+x): Rechnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Fr 12.08.2005
Autor: plauzenkater

die innere Ableitung von log(1+2x) ist 2.
die äußere Ableitung ist 1/x
Zusammen ist das doch: 1/x(1+2x)2
Wenn ich das jetzt versuche zu vereinfachen bekomme ich alles andere außer 2/1+2x raus... Ich denke mal der Fehler liegt schon in der Kettenregel.
Danke übrigens für die schnellen Antworten.
Bezug
                                        
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Ableitung log(1+x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Fr 12.08.2005
Autor: Christian


> die innere Ableitung von log(1+2x) ist 2 [ok].
>  die äußere Ableitung ist 1/x [notok]
>  Zusammen ist das doch: 1/x(1+2x)2
> Wenn ich das jetzt versuche zu vereinfachen bekomme ich
> alles andere außer 2/1+2x raus... Ich denke mal der Fehler
> liegt schon in der Kettenregel.
> Danke übrigens für die schnellen Antworten.  

[notok][notok] Wie lautet denn die Kettenregel genau?
$[f(g(x))]'=g'(x)*f'(g(x))$!!!

Was heißt das hier konkret?
[mm] f(y)=\ln [/mm] y
g(x)=1+2x.

[mm] \Rightarrow f'(y)=\frac{1}{y} [/mm]
g'(x)=2

So. Jetzt nur noch einsetzen:
[mm] $[f(g(x))]'=[\ln(1+2x)]'=g'(x)*f'(g(x))=2*\frac{1}{g(x)}=\frac{2}{1+2x}$. [/mm]

Gruß,
Christian
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Ableitung log(1+x): schönen dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Fr 12.08.2005
Autor: plauzenkater

Das kommt davon wenn man versucht die Kettenregel mehr oder weniger im Kopf zu rechnen und nicht genau hinschreibt... Hat bis jetzt ja auch immer geklappt nur bei diesem log-Zeugs nicht:-)
Vielen dank.
Bezug
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