Ableitung ln(x^2) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>Es soll die Funktion
f(x)= [mm] ln(x^2) [/mm] mit der h-Methode abgeleitet werden. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen
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<br>Mein Lösungsansatz:
m = [mm] ln[(x+h)^2]- ln(x^2) [/mm] / h
m = [mm] ln[(x^2 [/mm] +2xh [mm] +h^2) [/mm] - [mm] (ln(x^2)]/ [/mm] h
Und jetzt komme ich nicht weiter.
Wie vereinfache ich den Zähler?
Für Tipps und Hilfen bin ich sehr dankbar
LG wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> <br>Es soll die Funktion
> f(x)= [mm]ln(x^2)[/mm] mit der h-Methode abgeleitet werden.
> Beschreiben Sie Ihr Vorgehen
>
>
> <br>Mein Lösungsansatz:
> m = [mm]ln[(x+h)^2]- ln(x^2)[/mm] / h
>
> m = [mm]ln[(x^2[/mm] +2xh [mm]+h^2)[/mm] - [mm](ln(x^2)]/[/mm] h
>
> Und jetzt komme ich nicht weiter.
> Wie vereinfache ich den Zähler?
>
> Für Tipps und Hilfen bin ich sehr dankbar
>
> LG wolfgang
>
Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder höre.... . So ein Schwachsinn.
So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum gehen. Sei x [mm] \ne [/mm] 0:
Es ist (benutze u.a. Rechenregeln des Logarithmus)
[mm] \bruch{ln((x+h)^2)-ln(x^2)}{h}=\bruch{2}{x}* \bruch{g(h/x)-g(0)}{\bruch{h}{x}}, [/mm]
wobei g(t):=ln(1+t).
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Do 08.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Fred,
> Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder
> höre.... . So ein Schwachsinn.
Warum?
> So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum gehen.
Das sehe ich anders. Es reicht die Stetigkeit vom [mm] \ln
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder
> > höre.... . So ein Schwachsinn.
> Warum?
>
Das Wort "Methode" ist völlig fehl am Platze !
> > So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum
> gehen.
> Das sehe ich anders. Es reicht die Stetigkeit vom [mm]\ln[/mm]
Na ja. Du benutzt
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] e^x [/mm] $.
Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?
FRED
>
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 08.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?
gar nicht.
Die mir bekannte Vorgehensweise ist, e so zu definieren und dann den [mm] \ln [/mm] als Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x}$.
[/mm]
Man zeigt dann, dass die so definierten Funktionen gerade Umkehrfunktionen voneinander sind.
Dass es auch andere Wege gibt, e und [mm] \ln [/mm] zu definieren, ist mir klar. Allerdings ist obiges eben auch ein Weg dazu.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?
>
> gar nicht.
> Die mir bekannte Vorgehensweise ist, e so zu definieren
Das man definiert
$e:= [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right) [/mm] $
ist üblich. Und Ihr habt definiert
$ [mm] e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] $.
Wirklich ?
FRED
> und dann den [mm]\ln[/mm] als Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm].
> Man zeigt dann, dass die so definierten Funktionen gerade
> Umkehrfunktionen voneinander sind.
>
> Dass es auch andere Wege gibt, e und [mm]\ln[/mm] zu definieren, ist
> mir klar. Allerdings ist obiges eben auch ein Weg dazu.
>
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Do 08.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Das man definiert
> [mm]e:= \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> ist üblich. Und Ihr habt definiert
>
>
> [mm]e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^n [/mm].
>
> Wirklich ?
die Definition ist gar nicht so unüblich (siehe auch den Wikipedia-Eintrag zur Exponentialfunktion, wo eben diese Definition als eine der zwei üblichen genannt wird), wobei meine Schulzeit schon lang her ist und ich jetzt nicht drauf wetten würde.
Andererseits reicht ja die Definition:
[mm]e:= \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
und die Stetigkeit der Exponentialfunktion zu positiven rellen Basen ja bereits aus um für x>0 auf
[mm]e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{nx} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^{n} [/mm]
zu schließen.
Gruß,
Gono
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Hiho,
wie fred schon angedeutet hast, benötigst du die Logarithmusgesetze.
Forme also [mm] $\bruch{\ln((x+h)^2) - \ln(x^2)}{h}$ [/mm] so um, dass du einen Ausdruck der Form [mm] $\ln(\ldots)$ [/mm] bekommst und benutze dann
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
Tipp: Eine Anwendung der binomischen Formel ist nicht nötig.
Gruß,
Gono
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Herzlichen Dank, ihr habt mir sehr geholfen
wolfgang
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