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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitung impliziter Fkt.
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Ableitung impliziter Fkt.: Kann jemand Nachrechen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mi 15.09.2010
Autor: tanz-im-glas

Aufgabe
In welchen Punkten ist die Tangente an die Ellipse

[mm] (x-2)^2+4y^2=4 [/mm]

parallel zur Geraden

[mm] \wurzel{3}*x-3*y+3=0 [/mm]

nabend, hab die implizit gegebene gerade umgestellt auf

y = 1 + [mm] 1/\wurzel{3}x [/mm] und die ellipse partiell nach x und y abgeleitet und

den negativen quotienten gleich [mm] 1/\wurzel{3} [/mm] gesetzt.

das ergebnis so umgestellt:

x - 1 = [mm] 4y/(\wurzel{3}) [/mm] und in die ellipsengleichung eingesetzt.

die beiden punkte ergeben sich zu [mm] P1(2+\wurzel{16/7},-\wurzel{4/7}) [/mm]

und [mm] P2(2-\wurzel{16/7},\wurzel{4/7}) [/mm]


das ergebnis verunsichert mich etwas, wär schön wenn das jemand überprüfen könnte. zu fragen bezüglich der zwischenschritte halt ich mich bereit.

vielen dank
robert


        
Bezug
Ableitung impliziter Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mi 15.09.2010
Autor: abakus


> In welchen Punkten ist die Tangente an die Ellipse
>  
> [mm](x-2)^2+4y^2=4[/mm]
>  
> parallel zur Geraden
>  
> [mm]\wurzel{3}*x-3*y+3=0[/mm]
>  nabend, hab die implizit gegebene gerade umgestellt auf
>
> y = 1 + [mm]1/\wurzel{3}x[/mm] und die ellipse partiell nach x und y
> abgeleitet und
>  
> den negativen quotienten gleich [mm]1/\wurzel{3}[/mm] gesetzt.
>
> das ergebnis so umgestellt:
>
> x - 1 = [mm]4y/(\wurzel{3})[/mm] und in die ellipsengleichung
> eingesetzt.
>
> die beiden punkte ergeben sich zu
> [mm]P1(2+\wurzel{16/7},-\wurzel{4/7})[/mm]
>  
> und [mm]P2(2-\wurzel{16/7},\wurzel{4/7})[/mm]
>  
>
> das ergebnis verunsichert mich etwas, wär schön wenn das
> jemand überprüfen könnte. zu fragen bezüglich der
> zwischenschritte halt ich mich bereit.
>  
> vielen dank
>  robert
>  

Hallo,
zu Selbstkontrolle: Umstellen der Geradengleichung liefert einen Anstieg von [mm] \wurzel{3} [/mm] /3 bzw. 1/ [mm] \wurzel{3}. [/mm]
Geraden mit diesem Anstieg entsprechen der Gleichung [mm] y=(\wurzel{3}/3)x+n [/mm]
Ersetze nun in der Ellipsengleichung y durch [mm] (\wurzel{3}/3)x+n. [/mm]
Löse die entstehende Quadratische Gleichung nach x auf. Untersuche die Diskriminante und stelle fest, für welche n es genau eine Lösung (Berührungsfall) gibt.
Gruß Abakus


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