Ableitung einer ln Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Silence |
Hiho,
im Unterricht haben wir eine Funktion bekommen dessen Ableitung wir bestimmen sollen, danach dessen Achsenschnittpunkte,Extrem und Wendepunkte.
Da ich keine Ahnung habe wo/wie ich beginnen soll mit der ersten Ableitung würde ich mich um Hilfe freuen. Danke im vorraus.
Funktion:
f(x)=X*(ln(x)-2)²
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
willkommen im MatheRaum  !
> im Unterricht haben wir eine Funktion bekommen dessen
> Ableitung wir bestimmen sollen, danach dessen
> Achsenschnittpunkte,Extrem und Wendepunkte.
> Da ich keine Ahnung habe wo/wie ich beginnen soll mit der
> ersten Ableitung würde ich mich um Hilfe freuen. Danke im
> vorraus.
> Funktion:
> f(x)=X*(ln(x)-2)²
Welche Ableitungsregeln hattet ihr denn schon? Da du in der 13 bist, nehme ich an, wenigstens die Produkt- und Kettenregel.
Ausserdem benötigst du für diese Aufgabe noch die Ableitung der Funktion ln(x), zur Sicherheit gebe ich sie mal vor:
$f(x) = [mm] \ln(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x) = 1/x$
Zunächst einmal ist f(x) das Produkt der beiden Funktionen $g(x)=x$ und [mm] $h(x)=(\ln(x)-2)^2$, [/mm] weswegen du zur Ableitung von $f(x)$ die Produktregel anwenden mußt:
[mm] $f(x)=g(x)*h(x)\Rightarrow [/mm] f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)$
Die Ableitung von $g(x)$ dürfte kein Problem sein, aber die von $h(x)$ ist nicht so elementar.
$h(x)$ ist eine verkettete Funktion, die innere Funktion ist [mm] $u(x)=\ln(x)-2$ [/mm] und die äußere [mm] $v(x)=x^2$. [/mm] Diese Aufteilung in innere und äußere Funktion kannst du leicht überprüfen, denn [mm] $v(u(x))=u(x)^2=(\ln(x)-2)^2=h(x)$.
[/mm]
Nach der Kettenregel ist nun die Ableitung von $h(x)$: $h'(x)=u'(x)*v'(u(x))$.
Also heißt es hier wieder: Ableitungen von $u(x)$ und $v(x)$ berechnen, in die Formel für die Kettenregel einsetzen, damit dann $h'(x)$ bestimmen, und dieses $h'(x)$ in die Formel für die Produktregel einsetzen (zusammen mit $g'(x)$).
Reichen dir diese Tipps, oder ist noch etwas unklar geblieben? Es würde mich freuen, wenn du uns deine Ergebnisse zur Kontrolle schicken würdest oder weitere Fragen stellen würdest 
Bis gleich,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Silence |
Wäre dies soweit richtig ?
F`(x)=1*(ln(x)-2)²+x*(1/x*2x)
0 =(ln(x)-2)²+(1*2x²)
0 =(ln(x)-2)²+(2x²)
0 =ln(x)*ln(x)+4+2x² | : ln(x)
0/ln(x)=ln(x)+4+2x²
0=ln(x)+4+2x²
!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Silence |
Was für einen Fehler hab ich bei der 2. Ableitung gemacht ;) ?
f``(x)= 1/x*2x*(ln(x)-2)+2*1/x+ln(x)-2
=2*(ln(x)-2)+2/x+ln(x)-2
!?
Ich dachte das man (ln(x)-2) zuerst ableitet also 1/x, dann (ln(x)-2)² abgeleitet ergibt 2x*(ln(x)-2).Danach bei 2*(ln(x)-2 mit der produktregel lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
Die erste Ableitung war:
[mm] $f'(x)=(\ln(x)-2)^2+2*(\ln(x)-2)$
[/mm]
> Was für einen Fehler hab ich bei der 2. Ableitung gemacht
> ;) ?
>
> f``(x)= 1/x*2x*(ln(x)-2)+2*1/x+ln(x)-2
Im ersten Summanden müßte es statt "1/x*2x*(ln(x)-2)" heißen: "1/x*2*(ln(x)-2)" denn es wird in die Funktion "2x" die Funktion "(ln(x)-2)" eingesetzt.
Der zweite Summand "2*1/x+ln(x)-2" müßte lauten: "2*1/x". Woher kommt das "ln(x)-2"?
Kann es sein, dass du die erste Ableitung vorm Ableitung erst ausmultipliziert hast? Das überblick ich jetzt noch nicht ganz, ich mache das auch mal, obwohl es ja nicht nötig ist:
[mm] $f'(x)=(\ln(x)-2)^2+2*(\ln(x)-2)=\ln(x)^2-4*\ln(x)+4+2*\ln(x)-4=\ln(x)^2-2\ln(x)$
[/mm]
Ich habe jetzt für etwa eine Stunde keine Zeit mehr, diesen Artikel weiterzuschreiben, aber vielleicht findest du ja deinen Fehler in der Zwischenzeit. In einer Stunde schreibe ich dann weiter.
Bis gleich,
Marc.
> =2*(ln(x)-2)+2/x+ln(x)-2
> !?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Silence |
Also müsste es korrekt heissen :
=1/x*2*(ln(x)-2 + 2*1/x
=2/x*ln(x)-2+2/x
f´´(x)=2/x*(ln(x)-1)
!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Also müsste es korrekt heissen :
> =1/x*2*(ln(x)-2 + 2*1/x
Hier hast du eine schließende Klammer vergessen: 1/x*2*(ln(x)-2) + 2*1/x
> =2/x*ln(x)-2+2/x
... und hier hast die die Klammern ganz vergessen: 2/x*(ln(x)-2)+2/x
> f´´(x)=2/x*(ln(x)-1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das ist korrekt.
Übrigens, das ist mir gerade erst aufgefallen: Die erste Ableitung vereinfacht sich doch noch, wenn man ausmultiplizert:
[mm] $f'(x)=(\ln(x)-2)^2+2*(\ln(x)-2)=\ln(x)^2-4*\ln(x)+4+2*\ln(x)-4=\ln(x)^2-2*\ln(x)=\ln(x)*(\ln(x)-2)$
[/mm]
Das vereinfacht sowohl die Berechnung der zweiten Ableitung, als auch die Berechnung der Nullstellen der ersten Ableitung:
[mm] $f''(x)=1/x*(\ln(x)-2)+\ln(x)*1/x=1/x*(\ln(x)-2+\ln(x))=2/x*(\ln(x)-1)$
[/mm]
Nullstellenberechnung der ersten Ableitung:
$f'(x)=0$
[mm] $\gdw\ln(x)*(\ln(x)-2)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ln(x)=0\,\,\vee\,\,\ln(x)-2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x=1\,\,\vee\,\,\ln(x)=2$
[/mm]
[mm] $\gdw x=1\,\,\vee\,\,x=e^2$
[/mm]
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 02.03.2004 | | Autor: | Silence |
Vielen dank für deine reichliche Unterstützung, hat mir wirklich einiges für´s Verständnis gebracht. Ich hab derweilen schon mal mit der Aufgabe weitergemacht:
Dritte Ableitung:
= -2/x² *(ln(x)-1) + 2/x -1/x
= -2/x² *(ln(x)-1) + 2/x2²
= -2/x² *(ln(x)-1-1)
= -2/x² *(ln(x)-2)
Extrempunkte:
f´(x)=0 / ergebniss von dir eingesetzt, dürfte folgendes ergeben:
=x*(ln(x)-2)²
=e²*(2-2)²
=e²*(0)
f(e)=0 ------> TP(e²/0)
f´´(e)=2/e²*(2-1) > 0
Wendepunkte:
f´´(x)=0
0=2/x*(ln(x)-1)
0=ln(x)-1
ln(x)=1
x=e
f(e)=e*(1-2)²
=e ------> WP(e/e)
f´´´(e)=-2/e²*(1-2) ---> Ergebnis ist ungleich 0
Nullstellen:
f(x)=0
=x*(ln(x)-2)²
x1=0
Wäre erfreut über Korrektur meiner bestimmt zahlreichen Fehler ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 02.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Silence,
das sieht doch sehr gut aus!! Von wegen "zahlreiche Fehler"... Fast perfekt war's.
> Dritte Ableitung:
> = -2/x² *(ln(x)-1) + 2/x -1/x
hier muss es [mm]\green{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}}[/mm] heißen
> = -2/x² *(ln(x)-1) + 2/x2²
[mm]\green{x2^2}[/mm] macht irgendwie keinen Sinn, du meinst wohl [mm]\green{x^2}[/mm]
> = -2/x² *(ln(x)-1-1)
> = -2/x² *(ln(x)-2)
Das Ergebnis stimmt, aber du hast dich (vermutlich aus Flüchtigkeit) zweimal verschrieben. Die Stellen habe ich rot markiert und grün verbessert.
> Extrempunkte:
> f´(x)=0 / ergebniss von dir eingesetzt, dürfte folgendes
> ergeben:
> =x*(ln(x)-2)²
> =e²*(2-2)²
> =e²*(0)
> f(e)=0 ------> TP(e²/0)
>
> f´´(e)=2/e²*(2-1) > 0
Du meinst natürlich [mm]\green{f(e^2)}[/mm]... und [mm]\green{f''(e^2)}[/mm]...
Richtig, bis auf die Schreibfehler. Du hast natürlich die Reihenfolge vertauscht, aber das ist dir sicherlich klar. Erst [mm]f''(e)>0[/mm] und dann [mm]TP(e^2/0)[/mm] hinschreiben, aber das ist eine Kleinigkeit.
> Wendepunkte:
> f´´(x)=0
> 0=2/x*(ln(x)-1)
> 0=ln(x)-1
> ln(x)=1
> x=e
Super!
> f(e)=e*(1-2)²
> =e ------> WP(e/e)
>
> f´´´(e)=-2/e²*(1-2) ---> Ergebnis ist ungleich 0
Richtig, aber Gleiches wie oben. Erst [mm]f'''(e) \ne 0[/mm] zeigen und dann hinschreiben: [mm]WP(e/e)[/mm]. Aber auch das ist dir sicherlich klar...
> Nullstellen:
> f(x)=0
> =x*(ln(x)-2)²
> x1=0
Ja, das ist eine Nullstelle. Aber der zweite Faktor [mm](\ln(x)-2)^2[/mm] könnte ja auch gleich [mm]0[/mm] werden, oder?
Probieren wir es mal:
[mm]0 = (\ln(x)-2)^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ln(x) - 2 = 0[/mm].
Na? Melde dich mal mit der zweiten Nullstelle...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 02.03.2004 | | Autor: | Silence |
> Probieren wir es mal:
>
> [mm]0 = (\ln(x)-2)^2[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \ln(x) - 2 = 0[/mm].
>
> Na? Melde dich mal mit der zweiten Nullstelle...
ln(x)=2
x2=+e² x3=-e²
!?
Wir haben das Quadrat in dem Fall durch folgenden Schritt wegbekommen !?:
(ln(x)-2) * ln(x)-2 = 0 | Enspricht ja (ln(x)-2)² , und jetz geteil durch ln(x)-2 un das ist 0 also:
ln(x)-2=0 , in dem fall müsste es aber dann 2 Lösungen geben oder ?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
