Ableitung einer Vektorfunktion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:11 Mi 17.07.2013 | | Autor: | joydivision |
| Aufgabe | | Wie man die Bahngeschwindigkeit herleitet |
Hallo liebe Leute :),
ich hätte eine kleine Frage, die sich auf die Herleitung der Bahngeschwindigkeits-Formel(v=winkelgschwindigkeit mal Radius) bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung bezieht;
Wenn ich aus dem Vektor des Radius eine Funktion mache(abhängig von der Zeit), warum ist die erste Ableitung dann automatisch der Vektor der Bahngeschwindigkeit?
Meine Vermutung; deRadius Vektor ist der Ortsvektor für den Punkt,der sich auf der Kreisbahn bewegt, und der abgeleitete Vektor ist schlicht die Tangente an dem Punkt.
Wäre wirklich toll, wenn ihr mir helfen könntet :)
Ansonsten, liebe Grüße aus Wien :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nach Wien und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie man die Bahngeschwindigkeit herleitet
> Hallo liebe Leute :),
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> ich hätte eine kleine Frage, die sich auf die Herleitung
> der Bahngeschwindigkeits-Formel(v=winkelgschwindigkeit mal
> Radius) bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung bezieht;
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> Wenn ich aus dem Vektor des Radius eine Funktion
> mache(abhängig von der Zeit), warum ist die erste
> Ableitung dann automatisch der Vektor der
> Bahngeschwindigkeit?
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> Meine Vermutung; deRadius Vektor ist der Ortsvektor für
> den Punkt,der sich auf der Kreisbahn bewegt, und der
> abgeleitete Vektor ist schlicht die Tangente an dem Punkt.
Sagen wir so: der abgeleitete Vektor liegt tangential zur Kreisbahn. Das ist aber nicht weiter erstaunlich und gilt für jede beliebige differenzierbare Kurve.
Eine Ableitung ist ja stets der Grenzwert irgend eines Differenzenquotienten. Hier steht im Zähler die vektorielle Differenz zweier Orte _auf der Kurve_ (und damit wieder ein Vektor!), im Nenner die Zeit. Herauskommen muss also beim Grenzübergang [mm] \Delta{t}->0 [/mm] ein Vektor, dessen Betrag genau das momentane Verhältnis Ortsänderung/Zeit ist, und das ist ja per definitionem die Geschwindigkeit. Da weiter in obigem Differenzenquotienten etwas flapsig ein Vektor durch einen Skalar dividiert wird (was man natürlich besser schreibt, in dem man die Differenz im Zähler mit [mm] 1/\Delta{t} [/mm] multipliziert), ändert sich die Richtung des Vektors nicht (Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar).
Ergebnis: der abgeleitete Vektor muss tangential zur Bahnrichtung im fraglichen Punkt liegen, sein Betrag muss der momentanen Geschwindigkeit entsprechen.
Gruß, Diophant
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