Ableitung einer Exponetialfunk < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich hab eine Frage und zwar folgendes:
Die Funktion f: x -> [mm] x^x [/mm] ; x E IR+ lässt sich auf die Form f: x -> [mm] e^g(x) [/mm] ; x E IR+ bringen.
a) Gib den Term g(x) an!
b) Bestimme aufgrund der gefundenen Darstellung f'(x)!
c) f hat genau ein Extremum. Wo liegt es und von welcher Art ist es?
Meine Ergebnisse:
a) g(x) = ln [mm] x^x
[/mm]
-> f: x -> e^(ln [mm] x^x)
[/mm]
b) f'(x) = e^(ln [mm] x^x) [/mm] * x ^x-1
c) Für das Extremum benötige ich die 2. Ableitung.
f''(x) = [mm] 2*e^{lnx^x} [/mm] * (x-1) * x^(x-2) + ln x^(x-1)
Mich würde interessieren ob die Ableitungen für Aufgabenteil b) und c) richtig sind? Ich hab so meine Zweifel was die Richtigkeit angeht.
Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte bzw mir sagen kann ob es denn falsch ist.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Es ist $g(x) = ln ( [mm] x^x) [/mm] = x*ln(x)$
Also folgt: $f(x) = [mm] e^{x*ln(x)}$
[/mm]
2. Die Ableitung f' hast Du nicht richtig. Ohne Deine Rechnungen kann ichs nicht verbessern
FRED
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Danke für die Antwort.
Wieso ist nun dein Ergebnis bei Aufgabenteil a) richtig, meins aber falsch. Im Endeffekt kommt doch das gleiche dabei raus?
Ich rechne die Ableitung nochmal mit dem neuen g(x) aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
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> Wieso ist nun dein Ergebnis bei Aufgabenteil a) richtig,
> meins aber falsch.
Ich habe nicht gesagt, dass Deins falsch ist, ich habe dich lediglich darauf hingewiesen, dass [mm] $ln(x^x) [/mm] =x*ln(x) $ ist. Damit tust Du Dich beim Ableiten auch leichter
FRED
> Im Endeffekt kommt doch das gleiche
> dabei raus?
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> Ich rechne die Ableitung nochmal mit dem neuen g(x) aus.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 27.01.2010 | | Autor: | blinktpts |
Okay. Ich meld mich gleich nochmal.
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So bin mit der ersten Ableitung fertig:
f'(x) = e^(x*lnx)*(1*ln x + x * 1/x)
= e^(x*lnx) * (ln x + 1)
= e^(x*lnx) * ln x + e^(x*lnx)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> So bin mit der ersten Ableitung fertig:
>
> f'(x) = e^(x*lnx)*(1*ln x + x * 1/x)
> = e^(x*lnx) * (ln x + 1)
> = e^(x*lnx) * ln x + e^(x*lnx)
>
alles richtig
FRED
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Juhu :)
So die 2. Ableitung:
f''(x) = e^(x*lnx) * (ln x + 1) * ln x + e^(x*lnx) * 1/x * (ln x + 1)
= (e^(x*lnx) * ln x + e^(x*lnx)) * ln x + e^(x*lnx) * 1/x + e^(x*lnx) * ln x +e^(x*lnx)
= (ln x)² * e^(x*lnx) + e^(x*lnx) * ln x + e^((x-1)*lnx) + e^(x*lnx) + e^(x*lnx)
=e^(x*lnx) * (ln x)² + 2*e^(x*lnx) * ln x + e^((x-1)lnx) + e^(x*lnx)
Kann das richtig sein? :)
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Hallo blinkpts,
> Juhu :)
>
> So die 2. Ableitung:
>
> f''(x) = e^(x*lnx) * (ln x + 1) * ln x + e^(x*lnx) * 1/x *
> (ln x + 1)
> = (e^(x*lnx) * ln x + e^(x*lnx)) * ln x + e^(x*lnx) * 1/x
> + e^(x*lnx) * ln x +e^(x*lnx)
> = (ln x)² * e^(x*lnx) + e^(x*lnx) * ln x + e^((x-1)*lnx)
> + e^(x*lnx) + e^(x*lnx)
> =e^(x*lnx) * (ln x)² + 2*e^(x*lnx) * ln x + e^((x-1)lnx) + e^(x*lnx) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich habe nicht alles nachgerechnet, das Ergebnis stimmt aber!
Übersichtlicher ist es, wenn du für die ganzen [mm] $e^{x\ln(x)}$ [/mm] wieder [mm] $x^x$ [/mm] schreibst.
Außerdem hättest du dir einiges an Arbeit ersparen können, wenn du die 1. Ableitung zunächst zusammengefasst hättest zu
[mm] $f'(x)=x^x\cdot{}(\ln(x)+1)$
[/mm]
Das kannst du leicht nach Produktregel ableiten, die Ableitung von [mm] $x^x$ [/mm] kennst du ja schon, damit steht die 2.Ableitung im Handumdrehen da
[mm] $f''(x)=x^x\cdot{}(\ln(x)+1)^2+x^{x-1}$
[/mm]
>
>
> Kann das richtig sein? :)
Ja
LG
schachuzipus
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Okay danke für den Tipp.
Aber wie rechne ich bei dieser Gleichung die Extrempunkte aus?
Stell ich mir schwierig vor ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay danke für den Tipp.
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> Aber wie rechne ich bei dieser Gleichung die Extrempunkte
> aus?
> Stell ich mir schwierig vor ..
Ist es aber nicht ....
Wir hatten: $f'(x) = [mm] e^{x*ln(x)}(ln(x)+1)$
[/mm]
Aus $f'(x) = 0$ folgt, da stets [mm] e^{x*ln(x)}\not= [/mm] 0, : $ln(x)+1=0$
und daraus folgt: $x = ??$
FRED
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f'(x) = e^(x*lnx) * ln x + e^(x*lnx)
Ahh! Da e^(x*lnx) immer gleich groß sind, muss ln x = -1 sein, oder?
Dann würden sich die beiden Werte gegenseitig aufheben.
ln x = 0 bei -1 --> x = e^-1 = 0,367879441...
In f''(x) eingesetzt ergibt das einen Tiefpunkt bei 1,881596387...
Kann man das irgendwie schöner schreiben, also den Wert?
Stimmt das Ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 27.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die x-Stelle des Tiefpkts ist richtig, für den Wert musst du in f selbst einsetzen. f'' gibt nur weil>0 dass es ein TP ist.
schreib lieber 1/e als ne dezimalzahl.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mi 27.01.2010 | | Autor: | blinktpts |
Super, danke für eure Hilfe.
:)
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