Ableitung dieser Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Sa 04.10.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Bilden Sie von folgender Funktion die erste Ableitung:
f(x)= [mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+1}+1} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Ich komme bei dieser Aufgabe leider alleine nicht zurecht.
Versucht habe ich folgendes:
Ersteinmal geguckt, mit welchen Regeln man das ganze ableiten könnte, einmal vielleicht aus dem Produkt
[mm] x^{2} \* \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
und dann wäre dann noch der Bruch mit ca. 3 Verkettungen (?) was mir Probleme macht.
von [mm] {\wurzel{x^{2}+1}+1} [/mm] wäre die Ableitung außerdem nach meinen Berechnungen [mm] \bruch{x}{{\wurzel{x^{2}+1}}}
[/mm]
Nur was mache ich mit den anderen beiden Verkettungen? Da hab ich irgendwie keine Ahnung wie ich das lösen soll, das endet nur im Chaos :/
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen und danke für jeden Tipp.
Viele Grüße
Nina
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nina,
bei so einer Funktion hilft Dir die Quotientenregel weiter, hierbei treten dann aber auch innere Ableitungen auf, die Du mit der Kettenregel bestimmen musst.
Aber erst mal zur Quotientenregel: Die Ableitung solch eines Bruches [mm] \bruch{u(x)}{v(x)} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
lautet
$$ \bruch{u^{'}(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v^{'}(x)}{v^2(x) $$
Damit kommst Du sicherlich weiter.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] u=x^{2}
[/mm]
u'=2x
[mm] v=\wurzel{x^{2}+1}+1
[/mm]
[mm] v'=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
v'hast du also korrekt,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 05.10.2008 | | Autor: | nina1 |
Danke, der Tipp ist gut, aber ist diese Lösung wirklich richtig und muss man nicht noch die Verkettungsregel einbeziehen?
[mm] \bruch{2x\*\wurzel{x^{2}+1}-\bruch{x^{3}}{wurzel{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}
[/mm]
denn mit meinem Taschenrechner bekomme ich eine andere Lösung raus.
|
|
|
| |
|
Hallo nina1,
> Danke, der Tipp ist gut, aber ist diese Lösung wirklich
> richtig und muss man nicht noch die Verkettungsregel
> einbeziehen?
>
> [mm]\bruch{2x\*\wurzel{x^{2}+1}-\bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Im Zähler ist ein kleiner Fehler und der Nenner stimmt nicht, das ist doch $(\sqrt{x^2+1}+1)^2$
$f'(x)=\frac{\overbrace{2x\cdot{}(\sqrt{x^2+1}\red{+1})}^{u'(x)\cdot{}v(x)}-\overbrace{\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}}^{u(x)\cdot{}v'(x)}}{\underbrace{(\sqrt{x^2+1}+1)^2}_{(v(x))^2}}}$
Nun könntest du im Zähler den ersten Summanden erweitern mit $\sqrt{x^2+1}$, um beide Summanden gleichnamig zu machen, dann weiter zusammenfassen ...
> denn mit meinem Taschenrechner bekomme ich eine andere
> Lösung raus.
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nina1,
> Bilden Sie von folgender Funktion die erste Ableitung:
>
> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+1}+1}[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider alleine nicht zurecht.
>
> Versucht habe ich folgendes:
>
> Ersteinmal geguckt, mit welchen Regeln man das ganze
> ableiten könnte, einmal vielleicht aus dem Produkt
>
> [mm]x^{2} \* \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}+1}[/mm]
>
> und dann wäre dann noch der Bruch mit ca. 3 Verkettungen
> (?) was mir Probleme macht.
>
> von [mm]{\wurzel{x^{2}+1}+1}[/mm] wäre die Ableitung außerdem nach
> meinen Berechnungen [mm]\bruch{x}{{\wurzel{x^{2}+1}}}[/mm]
>
> Nur was mache ich mit den anderen beiden Verkettungen? Da
> hab ich irgendwie keine Ahnung wie ich das lösen soll, das
> endet nur im Chaos :/
>
> Ich hoffe hier kann mir jemand helfen und danke für jeden
> Tipp.
>
Vereinfache zunächst [mm]f\left(x\right)[/mm] so,
daß im Nenner kein Wurzelausdruck mehr steht.
Dies erreichst Du so:
[mm]f\left(x\right)= \bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+1}+1}=\bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+1}+1}*\bruch{\wurzel{x^{2}+1}-1}{\wurzel{x^{2}+1}-1}[/mm]
Diesen Ausdruck dann noch ausmultiplizieren und gegebenfalls kürzen.
Dann kannst den Ausdruck ableiten.
>
> Viele Grüße
>
> Nina
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
