Ableitung der Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Do 15.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass f(x) = [mm] x^2 e^{x^2} [/mm] auf [mm] \IR_+ [/mm] umkehrbar ist, und berechnen Sie [mm] (f^{-1})'(1).
[/mm]
b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von g(x) = [mm] (sin²x)e^{2x} [/mm] auf [mm] (0,2\pi) [/mm] |
Satz:
Es sei f: [mm] I\rightarrow \IR [/mm] streng monoton wachsend und in [mm] x_0 \in [/mm] I differenzierbar. Ist [mm] f'(x_0) \not= [/mm] 0, so ist die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] : f(I) [mm] \rightarrow [/mm] I in [mm] y_0 [/mm] := [mm] f(x_0) [/mm] differenzierbar und [mm] (f^{-1})'(f(x_0)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x_0)}
[/mm]
Diesen Satz würde ich gerne auf Aufgabenteil a) anwenden.
z.Z.: f ist streng monoton wachsend
Sei [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2, [/mm] so ist [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + h mit h > 0 und es folgt:
[mm] (x_2)^2 exp((x_2)^2) [/mm] > [mm] (x_1 [/mm] + [mm] h)^2 exp((x_1 [/mm] + [mm] h)^2) [/mm] = [mm] ((x_1)² [/mm] + 2x_1h + [mm] h^2) exp((x_1)^2)exp(2x_1h)exp(h^2) [/mm] >* [mm] (x_1)^2exp((x_1)^2)
[/mm]
*exp(x) [mm] \ge [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR_+ [/mm] und (2x_1h + [mm] h^2)>0 [/mm] für x [mm] \in \IR_+, [/mm] h>0
z.Z.: f ist auf [mm] \IR_+ [/mm] differenzierbar
Verkettungen differenzierbarer Funktionen sind wieder differenzierbar.
u(x) = [mm] x^2 [/mm] (wie alle Polynome) und v(x) = [mm] e^{x^2} [/mm] sind beide beliebig oft differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] und somit sicherlich auch auf der Einschränkung [mm] \IR_+. [/mm] Somit ist auch f auf [mm] \IR_+ [/mm] differenzierbar.
Und jetzt habe ich ein Problem. [mm] f(x_0) [/mm] = 1... diese Gleichung ( [mm] (x_0)^2e^{(x_0)^2} [/mm] = 1 )kriege ich nicht gelöst und kann somit nicht in [mm] f(x_0) [/mm] differenzieren.
b) g(x) = (sin²x)exp(2x)
g'(x) = 2sinxcosx exp(2x) + 2sin²x exp(2x) = 2sinxexp(2x)(cosx + sinx)
Nullstellen von g'(x) bestimmen:
exp(2x) wird auf [mm] (0,2\pi)nicht [/mm] Null, also bleibt zu untersuchen:
2sinxexp(2x)(cosx + sinx) = 0 [mm] \gdw [/mm] (sinx = 0) v (cosx+sinx = 0)
sin(0) = [mm] sin(2\pi) [/mm] = 0 liegen nicht im Intervall.
Bleibt [mm] sin(\pi) [/mm] = 0 als Nullstelle von sinx.
cosx + sinx = 0 [mm] \gdw [/mm] sinx = -cosx
Mit cos²x + sin²x = 1 [mm] \gdw [/mm] cos x = [mm] \wurzel{1-sin²x} [/mm] folgt:
sin x = [mm] -\wurzel{1-sin²x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] sin²x = 1-sin²x [mm] \gdw [/mm] sin²x = [mm] \bruch{1}{2} \gdw [/mm] sinx = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \gdw [/mm] x = [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}) \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
g'(x) = 2sinxcosx exp(2x) + 2sin²x exp(2x)
g''(x) = (2cos²x - 2sin²x)exp(2x) + 4sinxcosx exp(2x) + 4sin²x exp(2x)
= exp(2x) * (2cos²x - 2sin²x + 4 sinx cosx + 4sin²x) = exp(2x) * (2cos²x + 4 sinx cosx + 2 sin²x) = 2exp(2x) (sinx + [mm] cosx)^2 [/mm]
[mm] g''(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] 2exp(\bruch{\pi}{2})(sin{\bruch{\pi}{4}} [/mm] + [mm] cos{\bruch{\pi}{4}})^2 \approx [/mm] 19,2419 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. Minimum bei [mm] \pi/4
[/mm]
[mm] g''(\pi) \approx [/mm] 1070,98 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. Minimum bei [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_1 [/mm] = [mm] (\pi/4,2.405), T_2 [/mm] = [mm] (\pi,0)
[/mm]
Nun denn, was denkt ihr dazu? Ist die b) so richtig gelöst? Und hat jemand eine Idee für die a).
Danke im Voraus und liebe Grüße,
Tobias
|
|
| |
|
Hallo MaRaQ,
> a) Zeigen Sie, dass f(x) = [mm]x^2 e^{x^2}[/mm] auf [mm]\IR_+[/mm] umkehrbar
> ist, und berechnen Sie [mm](f^{-1})'(1).[/mm]
> b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von g(x) =
> [mm](sin²x)e^{2x}[/mm] auf [mm](0,2\pi)[/mm]
> Satz:
> Es sei f: [mm]I\rightarrow \IR[/mm] streng monoton wachsend und in
> [mm]x_0 \in[/mm] I differenzierbar. Ist [mm]f'(x_0) \not=[/mm] 0, so ist die
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] : f(I) [mm]\rightarrow[/mm] I in [mm]y_0[/mm] := [mm]f(x_0)[/mm]
> differenzierbar und [mm](f^{-1})'(f(x_0))[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(x_0)}[/mm]
>
> Diesen Satz würde ich gerne auf Aufgabenteil a) anwenden.
>
> z.Z.: f ist streng monoton wachsend
> Sei [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2,[/mm] so ist [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm] + h mit h > 0 und es
> folgt:
> [mm](x_2)^2 exp((x_2)^2)[/mm] > [mm](x_1[/mm] + [mm]h)^2 exp((x_1[/mm] + [mm]h)^2)[/mm] =
> [mm]((x_1)²[/mm] + 2x_1h + [mm]h^2) exp((x_1)^2)exp(2x_1h)exp(h^2)[/mm] >*
> [mm](x_1)^2exp((x_1)^2)[/mm]
>
> *exp(x) [mm]\ge[/mm] 1 für alle x [mm]\in \IR_+[/mm] und (2x_1h + [mm]h^2)>0[/mm] für
> x [mm]\in \IR_+,[/mm] h>0
>
> z.Z.: f ist auf [mm]\IR_+[/mm] differenzierbar
> Verkettungen differenzierbarer Funktionen sind wieder
> differenzierbar.
> u(x) = [mm]x^2[/mm] (wie alle Polynome) und v(x) = [mm]e^{x^2}[/mm] sind
> beide beliebig oft differenzierbar auf [mm]\IR[/mm] und somit
> sicherlich auch auf der Einschränkung [mm]\IR_+.[/mm] Somit ist auch
> f auf [mm]\IR_+[/mm] differenzierbar.
>
> Und jetzt habe ich ein Problem. [mm]f(x_0)[/mm] = 1... diese
> Gleichung ( [mm](x_0)^2e^{(x_0)^2}[/mm] = 1 )kriege ich nicht gelöst
> und kann somit nicht in [mm]f(x_0)[/mm] differenzieren.
Ich glaube nicht, daß die Ableitung als Zahlenwert angegeben werden muß.
>
> b) g(x) = (sin²x)exp(2x)
> g'(x) = 2sinxcosx exp(2x) + 2sin²x exp(2x) =
> 2sinxexp(2x)(cosx + sinx)
> Nullstellen von g'(x) bestimmen:
> exp(2x) wird auf [mm](0,2\pi)nicht[/mm] Null, also bleibt zu
> untersuchen:
> 2sinxexp(2x)(cosx + sinx) = 0 [mm]\gdw[/mm] (sinx = 0) v (cosx+sinx
> = 0)
> sin(0) = [mm]sin(2\pi)[/mm] = 0 liegen nicht im Intervall.
> Bleibt [mm]sin(\pi)[/mm] = 0 als Nullstelle von sinx.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> cosx + sinx = 0 [mm]\gdw[/mm] sinx = -cosx
> Mit cos²x + sin²x = 1 [mm]\gdw[/mm] cos x = [mm]\wurzel{1-sin²x}[/mm]
> folgt:
> sin x = [mm]-\wurzel{1-sin²x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] sin²x = 1-sin²x [mm]\gdw[/mm] sin²x = [mm]\bruch{1}{2} \gdw[/mm]
> sinx = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \gdw[/mm] x =
> [mm]arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}) \Rightarrow[/mm] x =
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
Bedenke, daß es hier zwei Werte in dem angebenen Intervall gibt,
für die [mm]\sin\left(x\right)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> g'(x) = 2sinxcosx exp(2x) + 2sin²x exp(2x)
> g''(x) = (2cos²x - 2sin²x)exp(2x) + 4sinxcosx exp(2x) +
> 4sin²x exp(2x)
> = exp(2x) * (2cos²x - 2sin²x + 4 sinx cosx + 4sin²x) =
> exp(2x) * (2cos²x + 4 sinx cosx + 2 sin²x) = 2exp(2x) (sinx
> + [mm]cosx)^2[/mm]
> [mm]g''(\bruch{\pi}{4})[/mm] =
> [mm]2exp(\bruch{\pi}{2})(sin{\bruch{\pi}{4}}[/mm] +
> [mm]cos{\bruch{\pi}{4}})^2 \approx[/mm] 19,2419 > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] lok.
> Minimum bei [mm]\pi/4[/mm]
[mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ist keine Nullstelle von g'.
> [mm]g''(\pi) \approx[/mm] 1070,98 > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] lok. Minimum bei
> [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow T_1[/mm] = [mm](\pi/4,2.405), T_2[/mm] = [mm](\pi,0)[/mm]
>
> Nun denn, was denkt ihr dazu? Ist die b) so richtig gelöst?
> Und hat jemand eine Idee für die a).
>
> Danke im Voraus und liebe Grüße,
>
> Tobias
Gruß
MathePower
|
|
|
|
