Ableitung der Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 04.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | a)
Die Tangensfunktion
tan [mm] :]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ \to \IR
[/mm]
ist bijektiv, also existiert die Umkehrfunktion arctan : [mm] \IR [/mm] to [mm] \IR. [/mm] Zudem ist tan bekanntlich differenzierbar.
Begründen Sie, dass arctan differenzierbar ist und bestimmen Sie arctan'(x) für x [mm] \in \IR
[/mm]
b)
Bestimmen Sie die Ableitung von
f: [mm] \IR [/mm] to [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{2}arcsin \bruch{2x}{1+x^2}
[/mm]
und begründen Sie damit die Identität f(x) = arctan(x) für alle x [mm] \in [/mm] (-1, 1). gilt diese auch für |x| [mm] \ge [/mm] 1? |
a)
f(x) = tanx
f´(x) = [mm] 1+tan^2 [/mm] x
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = arctan(f(x))
arctan'(x) = [mm] \bruch{1}{1+tan^2(arctan(f(x)))}
[/mm]
stimmt die lösung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
neinm wenn du bei dir f(x) einsetzt steht im Nenner einfach wieder [mm] tan^2(x) [/mm] wieso hast du als Argument f(x)?
denk an die einfache Hwerleitun: ( [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] ableiten nach der Kettenregel;
[mm] f'*(f^{-1}(x))'=1 [/mm] ,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 04.05.2014 | | Autor: | needmath |
Korrektur:
ich habe folgende formel benutzt:
http://upload.wikimedia.org/math/a/9/c/a9c5c95b2a479948145301e53df1ffda.png
a)
f(x) = tanx
f´(x) = [mm] 1+tan^2 [/mm] x
umkehrfunktion: y = arctanx
arctan'(x) = [mm] \bruch{1}{1+tan^2(arctan(x))}
[/mm]
also laut wikipedia ist die ableitung der umkehfunktion = [mm] \bruch{1}{f'(umkehrfunktion)}
[/mm]
und das habe ich gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber man sollte noch [mm] tan^2(arctanx) [/mm] vereinfachen!
Gruss leduart
|
|
|
|
