Ableitung der Lambert W-Funk. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x) = [mm] xe^{x}
[/mm]
a) Geben Sie ein maximales Intervall I an mit 0 [mm] \In [/mm] I und f : I [mm] \to \IR [/mm] injektiv.
b) Bestimmen Sie das Bild B von I unter f.
c) W : B [mm] \to [/mm] I, W(x) := [mm] f^{-1}(x) [/mm] heißt Lambert W-Funktion. Skizzieren Sie den Graph von W.
d) In welchen Punkten ist W streng monoton, in welchen Punkten differenzierbar?
e) Zeigen Sie W'(x)= [mm] \bruch{W(x)}{x(1+W(x)}= \bruch{1}{(1+W(x))*e^{W(x)}} [/mm] |
Hi,
ich habe zwar die komplette Aufgabe abgetippt. Aber mir fehlt nur noch die letze Teilaufgabe e).
Wir haben zwar die Skizze und wir wissen auch wo diese W Funktion differenzierbar ist.
[ Für W hatten wir glaube ich y= [mm] ln\bruch{x}{y} [/mm] bzw. x = [mm] e^{y}-y [/mm] raus.]
Aber die gewünschten Umformungen für die Ableitung sind für mir absolut schleierhaft.
Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen 
Gruß Margorion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f(x) = [mm]xe^{x}[/mm]
> a) Geben Sie ein maximales Intervall I an mit 0 [mm]\In[/mm] I und
> f : I [mm]\to \IR[/mm] injektiv.
> b) Bestimmen Sie das Bild B von I unter f.
> c) W : B [mm]\to[/mm] I, W(x) := [mm]f^{-1}(x)[/mm] heißt Lambert
> W-Funktion. Skizzieren Sie den Graph von W.
> d) In welchen Punkten ist W streng monoton, in welchen
> Punkten differenzierbar?
> e) Zeigen Sie W'(x)= [mm]\bruch{W(x)}{x(1+W(x)}= \bruch{1}{(1+W(x))*e^{W(x)}}[/mm]
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> Hi,
> ich habe zwar die komplette Aufgabe abgetippt. Aber mir
> fehlt nur noch die letze Teilaufgabe e).
>
> Wir haben zwar die Skizze und wir wissen auch wo diese W
> Funktion differenzierbar ist.
> [ Für W hatten wir glaube ich y= [mm]ln\bruch{x}{y}[/mm] bzw. x =
> [mm]e^{y}-y[/mm] raus.]
>
> Aber die gewünschten Umformungen für die Ableitung sind
> für mir absolut schleierhaft.
Benutze die Umkehrregel
http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
FRED
>
> Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen
>
> Gruß Margorion.
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