Ableitung bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Di 24.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen.
Meine Frage:
Man habe folgende Funktion gegeben: [mm] f(x_1,x_2)= \bruch{sinx_1*sinx_2}{x_1^2+x_2^2}. [/mm] Nun soll man zeigen dass
[mm] \limes_{x_1\rightarrow0} (\limes_{x_2\rightarrow0} f(x_1,x_2))= \limes_{x_2\rightarrow0} (\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2))
[/mm]
Eigentlich müsste das doch recht einfach zu zeigen sein. Mein Problem ist nur dass ich den ersten Schritt nicht hinschreiben kann und zwar was ist: [mm] \limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2) [/mm] bzw. wie schreibt man das formal sauber auf?
viele grüße
jacob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 24.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Ist damit der Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge bei gemischten partiellen Ableitungen gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Nein
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen.
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> Meine Frage:
> Man habe folgende Funktion gegeben: [mm]f(x_1,x_2)= \bruch{sinx_1*sinx_2}{x_1^2+x_2^2}.[/mm]
> Nun soll man zeigen dass
>
> [mm]\limes_{x_1\rightarrow0} (\limes_{x_2\rightarrow0} f(x_1,x_2))= \limes_{x_2\rightarrow0} (\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2))[/mm]
>
> Eigentlich müsste das doch recht einfach zu zeigen sein.
Ja, die Aufgabe ist nicht besonders tiefsinnig ! Denn f ist doch völlig symmetrisch in [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2:
[/mm]
Wenn man zeigen kann, dass [mm] \limes_{x_1\rightarrow0} (\limes_{x_2\rightarrow0} f(x_1,x_2)) [/mm] ex. , so ex. trivialerweise auch [mm] \limes_{x_2\rightarrow0} (\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2)) [/mm] und die beiden iterierten Grenzwerte sind gleich.
Wenn aber einer der beiden iterierten Grenzwerte nicht ex. , so ex. natürlich der andere ebenfalls nicht.
> Mein Problem ist nur dass ich den ersten Schritt nicht
> hinschreiben kann und zwar was ist:
> [mm]\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2)[/mm] bzw. wie schreibt man
> das formal sauber auf?
Fall 1: [mm] x_2=0. [/mm] Dann ist [mm] f(x_1,x_2)=0 [/mm] und somit: [mm]\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2)=0[/mm]
Fall 2: [mm] x_2 \ne [/mm] 0.
Dann ist
[mm] $|f(x_1,x_2)| \le |sin(x_1)|* \bruch{|sin(x_2)|}{x_2^2}$
[/mm]
Der Ausdruck rechts strebt gegen 0 für [mm] x_1 \to [/mm] 0,
Also: [mm]\limes_{x_1\rightarrow0} f(x_1,x_2)=0[/mm]
FRED
> viele grüße
> jacob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Do 26.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Und dadurch hast du nun gezeigt, dass der linke Grenzwert existiert, welcher Null ist. Aufgrund der Symetrie folgt dann, dass auch der rechtsseitige existiert und gleich dem linksseitigen ist,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Und dadurch hast du nun gezeigt, dass der linke Grenzwert
> existiert, welcher Null ist. Aufgrund der Symetrie folgt
> dann, dass auch der rechtsseitige existiert und gleich dem
> linksseitigen ist,oder?
>
Genau
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 26.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Noch eine letzte Frage Mit Symetrie meinst du Punktsymetrie zum Ursprung oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine letzte Frage Mit Symetrie meinst du Punktsymetrie
> zum Ursprung oder?
Ich meine:
[mm] f(x_1,x_2)=f(x_2,x_1)
[/mm]
FRED
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