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Hier eine Aufgabentype, die ich so noch nie behandelt habe.
Für jede auf einem Intervall ]a;b[ [mm] \subset \IR [/mm] differenzierbare Funktion f : [a;b] [mm] \to \IR [/mm] gibt es mindestens eine Stelle [mm] x_0 \in [/mm] ]a;b[ mit
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{f(b) - f(ab)}{b - a}.
[/mm]
a) Was bedeutet diese Aufgabe anschaulich (geometrisch)?
b) Bestimmen Sie alle Stellen, die diese Aussage für die Funktion f mit f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] auf dem Intervall ]0;4[ erfüllen
Wenn die mal jemand vorrechnen könnte, damit ich diesen Aufgabentyp verstehe, wäre das echt nett. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Soll das wirklich ein f(ab) sein? oder nur f(a)? Ich gehe erstmal von aus, dass es nur f(a) heißen soll.
Ok, du betrachtest eine Funktion in einem bestimmten Intervall [a;b].
Diese Funktion hat bei a den Funktionswert f(a) und bei b f(b).
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] gibt den Anstieg der Geraden an, die durch A(a|f(a)) und B(b|f(b)) geht.
Und die Aufgabe sagt, dass der Anstieg dieser Funktion irgendwo genauso groß ist wie der Anstieg dieser Geraden durch A und B (im Intervall ]a;b[).
z.B. also bei f(x)=x²
a=0, b=1
f(a)=0, f(b)=1
[mm] \bruch{f(1)-f(0)}{1-0}=1
[/mm]
f'(x)=2x
f'(x)=1=2x
[mm] x=\bruch{1}{2}, [/mm] liegt offenbar zwischen 0 und 1.
b)
[mm] \bruch{f(4)-f(0)}{4-0}=\bruch{1}{2}=f'(x_0)
[/mm]
Für welche Stelle gilt also [mm] f'(x_0)=\bruch{1}{2}?
[/mm]
Edit: Ich wusste, dass ich davon schon mal was gehört habe!
![[]](/images/popup.gif) KLICK
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hey du hast mir sehr geholfen.
ich bin auch auf 1/2 gekommen , aber ich wusste nicht, dass ich das mit der ersten ableitung der ausgangsfunktion gleichsetzen muss, um x zu erhalten. ist ja eigentlich logisch.
vielen dank.
ja, hast recht, ich meinte f(a) und nicht f(ab)... tippfehler... trotz mehrmaligen korrekturlesens.
abschließend habe ich für f'x = 1/2 und für x = 1 ermittelt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Korrekt!
Und kein Problem :)
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