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| Aufgabe | Gegeben seien die differenzierbaren Funktionen $f(x,p,q)$ mit [mm] $(x,p,q)\in\IR^3$ [/mm] und [mm] u,\phi:(a,b)\to\IR. [/mm] Berechen Sie die Ableitung nach $t$ der Funktion
[mm] $$F(t)=\int^b_a f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx$$ [/mm] |
Hallo,
es ist klar, dass [mm] $F'(t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial t} f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx$
[/mm]
Nur wie kann ich den inneren Teil nach t differenzieren? Wer kann helfen?
Gruß
Patrick
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Hallo XPatrickX,
> Gegeben seien die differenzierbaren Funktionen [mm]f(x,p,q)[/mm] mit
> [mm](x,p,q)\in\IR^3[/mm] und [mm]u,\phi:(a,b)\to\IR.[/mm] Berechen Sie die
> Ableitung nach [mm]t[/mm] der Funktion
> [mm]F(t)=\int^b_a f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx[/mm]
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> Hallo,
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> es ist klar, dass [mm]F'(t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial t} f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx[/mm]
>
> Nur wie kann ich den inneren Teil nach t differenzieren?
> Wer kann helfen?
Mit
[mm]p\left(x,t\right):=u(x)+t\phi(x)[/mm]
[mm]q\left(x,t\right):=u'(x)+t\phi'(x)[/mm]
wird daraus
[mm]F'(t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial t} f(x,p(x,t),q(x,t)) \ dx[/mm]
Die Ableitung des Integranden nach t erfolgt mit
Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Kettenregel.
>
> Gruß
> Patrick
>
Gruß
MathePower
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Hallo,
auch wenn die Aufgabe schon älter ist, bin ich trotzdem noch an der Lösung interessiert.
> > Gegeben seien die differenzierbaren Funktionen [mm]f(x,p,q)[/mm] mit
> > [mm](x,p,q)\in\IR^3[/mm] und [mm]u,\phi:(a,b)\to\IR.[/mm] Berechen Sie die
> > Ableitung nach [mm]t[/mm] der Funktion
> > [mm]F(t)=\int^b_a f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx[/mm]
>
> Mit
>
> [mm]p\left(x,t\right):=u(x)+t\phi(x)[/mm]
>
> [mm]q\left(x,t\right):=u'(x)+t\phi'(x)[/mm]
>
> wird daraus
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> [mm]F'(t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial t} f(x,p(x,t),q(x,t)) \ dx[/mm]
>
> Die Ableitung des Integranden nach t erfolgt mit
> Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel.
>
>
Ok, nur wie sähe das jetzt hier konkret aus?
f ist ja meine äußere Funktion mit [mm] $f'(x,p,q)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial p} , \frac{\partial f}{\partial q}\right)$
[/mm]
Dann habe ich noch den inneren Teil: [mm] $\varphi(t)=(x,p(x,t),q(x,t)$ [/mm] und daher gilt [mm] $\varphi'(t)=(0,p_t,q_t)=(0,\phi(x),\phi'(x))$
[/mm]
Insgesamt:
[mm] F'(t)=f'(\varphi(t))*\varphi'(t)=...
[/mm]
Ähm stimmt das so? Wie kann ich jetzt das Verkettete aufschreiben?
Danke für die Hilfe,
Patrick
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Hallo XPatrickX,
> Hallo,
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> auch wenn die Aufgabe schon älter ist, bin ich trotzdem
> noch an der Lösung interessiert.
>
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> > > Gegeben seien die differenzierbaren Funktionen [mm]f(x,p,q)[/mm] mit
> > > [mm](x,p,q)\in\IR^3[/mm] und [mm]u,\phi:(a,b)\to\IR.[/mm] Berechen Sie die
> > > Ableitung nach [mm]t[/mm] der Funktion
> > > [mm]F(t)=\int^b_a f(x,u(x)+t\phi(x),u'(x)+t\phi'(x)) \;dx[/mm]
>
> >
> > Mit
> >
> > [mm]p\left(x,t\right):=u(x)+t\phi(x)[/mm]
> >
> > [mm]q\left(x,t\right):=u'(x)+t\phi'(x)[/mm]
> >
> > wird daraus
> >
> > [mm]F'(t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial t} f(x,p(x,t),q(x,t)) \ dx[/mm]
>
> >
> > Die Ableitung des Integranden nach t erfolgt mit
> > Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel.
>
> >
> >
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> Ok, nur wie sähe das jetzt hier konkret aus?
>
> f ist ja meine äußere Funktion mit
> [mm]f'(x,p,q)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial p} , \frac{\partial f}{\partial q}\right)[/mm]
>
> Dann habe ich noch den inneren Teil:
> [mm]\varphi(t)=(x,p(x,t),q(x,t)[/mm] und daher gilt
> [mm]\varphi'(t)=(0,p_t,q_t)=(0,\phi(x),\phi'(x))[/mm]
>
> Insgesamt:
> [mm]F'(t)=f'(\varphi(t))*\varphi'(t)=...[/mm]
>
> Ähm stimmt das so? Wie kann ich jetzt das Verkettete
> aufschreiben?
>
[mm]f'(\varphi(t))*\varphi'(t)[/mm] ist zunächst die Ableitung des Integranden nach der Zeit.
[mm]\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial p} , \frac{\partial f}{\partial q}\right)=f'(\varphi(t))*\varphi'(t)=[/mm]
[mm]=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial p} , \frac{\partial f}{\partial q}\right)\*(0,\phi(x),\phi'(x))[/mm]
[mm]=\bruch{\partial f}{\partial x}*0+\bruch{\partial f}{\partial p}*\phi\left(x\right)+\bruch{\partial f}{\partial q}*\phi'\left(x\right)[/mm]
Dann ist
[mm]F'(t)=\int^b_a {\frac{\partial}{\partial t} f(x,p(x,t),q(x,t)) \ dx}=\int^b_a {\bruch{\partial f}{\partial p}*\phi\left(x\right)+\bruch{\partial f}{\partial q}*\phi'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
>
> Danke für die Hilfe,
> Patrick
Gruß
MathePower
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Hallo!
Ok, das habe ich soweit verstanden. Ich fasse nochmal zusammen, die ganze Herleitung sollte doch auch gelten, wenn x ein Vektor aus dem [mm] \IR^n [/mm] ist, oder?
Sei also [mm] $F(u+t\phi)=\int_{\Omega} f(x,u(x)+t\phi(x),\nabla [/mm] u(x)+t [mm] \nabla \phi(x)) \;dx$
[/mm]
Dann ist [mm] \frac{d}{dt}F=\int_{\Omega} {\bruch{\partial f}{\partial p}*\phi\left(x\right)+\nabla_q f*\nabla\phi\left(x\right) \ dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt t=0 setzen will, verändert sich an dem Ausdruck ja nichts, da kein t mehr vorkommt!?
Ist jetzt [mm] \frac{d}{dt}F(u+t\phi)|_{t=0}=0 [/mm] für alle [mm] \phi, [/mm] wie komme ich nun auf eine partielle Differentialgleichung (Euler Langrange-Gl.) für u?
Ich gehe davon aus, dass der Integrand Null sein muss, aber in diesem kommt ja auch kein u mehr vor...
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Hallo XPatrickX,
>Hallo!
>Ok, das habe ich soweit verstanden. Ich fasse nochmal zusammen, die ganze >Herleitung sollte doch auch gelten, wenn x ein Vektor aus dem $ [mm] \IR^n [/mm] $ ist, >oder?
>Sei also $ [mm] F(u+t\phi)=\int_{\Omega} f(x,u(x)+t\phi(x),\nabla [/mm] u(x)+t [mm] \nabla \phi(x)) \;dx [/mm] $
>Dann ist $ [mm] \frac{d}{dt}F=\int_{\Omega} {\bruch{\partial f}{\partial p}\cdot{}\phi\left(x\right)+\nabla_q f\cdot{}\nabla\phi\left(x\right) \ dx} [/mm] $
>Wenn ich jetzt t=0 setzen will, verändert sich an dem Ausdruck ja nichts, da kein t mehr vorkommt!?
>Ist jetzt $ [mm] \frac{d}{dt}F(u+t\phi)|_{t=0}=0 [/mm] $ für alle $ [mm] \phi, [/mm] $ wie komme ich nun auf eine partielle Differentialgleichung (Euler Langrange-Gl.) für u?
>Ich gehe davon aus, dass der Integrand Null sein muss, aber in diesem kommt ja >auch kein u mehr vor...
Schau mal hier:Euler-Lagrangegleichungen
Gruß
MathePower
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