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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung Parameterfunktion
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Ableitung Parameterfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:28 So 25.03.2007
Autor: Martinius

Hallo,

ich habe eine Frage zu meiner Formelsammlung. Es geht um die Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion: x = x(t) und y = y(t).

Für die erste Ableitung gibt die Formelsammlung an:

y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{\dot y}{\dot x}[/mm]

Das kann ich noch nachvollziehen (Kettenregel). Für die zweite Ableitung steht da aber:

y'' = [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{dx}{dt}*\bruch{d^{2}y}{dt^{2}} - \bruch{dy}{dt}*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\bruch{dx}{dt})^{3}}[/mm]

Den Zähler kann ich auch noch nachvollziehen; aber die dritte Potenz im Nenner - ist das vielleicht ein Druckfehler ?

Vielen Dank für die Mühe.

LG, Martinius


        
Bezug
Ableitung Parameterfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 So 25.03.2007
Autor: Mary15


> Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu meiner Formelsammlung. Es geht um
> die Ableitung einer in der Parameterform dargestellten
> Funktion: x = x(t) und y = y(t).
>  
> Für die erste Ableitung gibt die Formelsammlung an:
>  
> y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{\dot y}{\dot x}[/mm]
>  
> Das kann ich noch nachvollziehen (Kettenregel). Für die
> zweite Ableitung steht da aber:
>  
> y'' = [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{dx}{dt}*\bruch{d^{2}y}{dt^{2}} - \bruch{dy}{dt}*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\bruch{dx}{dt})^{3}}[/mm]
>  
> Den Zähler kann ich auch noch nachvollziehen; aber die
> dritte Potenz im Nenner - ist das vielleicht ein
> Druckfehler ?
>  
> Vielen Dank für die Mühe.
>  
> LG, Martinius
>  

Hi,
es ist kein Fehler.
Wie die 1.Ableitung, so kannst du die 2.Ableitung nach der Formel berechnen:

y'' = [mm] \bruch{(y'_{x})'_{t}}{x'_{t}} [/mm]

die 1. Ableitung ist y'_{x} = [mm] \bruch{y'_{t}}{x'_{t}} [/mm]
Nun kann man die weitere Ableitung nach der Quotientenregel berechnen:
[mm](y'_{x})'_{t}[/mm] = [mm] \bruch{y''_{t}*x'_{t}-x''_{t}*y'_{t}}{(x'_{t})^2} [/mm]
Nach Einsetzen in die Formel für y'' kriegst du [mm] (x'_{t})^3 [/mm] im Nenner.

Bezug
                
Bezug
Ableitung Parameterfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 So 25.03.2007
Autor: Martinius

Hallo Mary,

ja, ich hatte vergessen y'(x) nach t abzuleiten.

Dankeschön.

LG, Martinius

Bezug
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