Ableitung, Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $ a, b, c [mm] \in \mathbb [/mm] R $ mit $ a< b <c , f: ]a,c[ [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R $ stetig und auf $]a,b[ [mm] \cup [/mm] ]b,c[ $ diffbar. Weiter existiere der Grenzwert:
[mm] lim_{x \rightarrow b} [/mm] $f'(x) = [mm] \alpha$
[/mm]
Zeigen sie dass $f$ im Punkt $b$ diffbar ist mit der Ableitung $f'(b) = [mm] \alpha$
[/mm]
Hinweis: Mittelwertsatz könnte hilfreich sein |
Hi
habe eine Frage zu der Aufgabe. Ein bisschen weiter unten im Forum ist gerade eine ähnlich Aufgabe allerdings mit abgeschlossenem Intervall als Definitionsmenge der Funktion. Dann könnte man ja den MWS benutzen, aber ich weiß hier nicht wie ich den Mittelwertsatz anwenden soll, da das Intervall ja offen ist
Jemand eine Idee?
lg
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Hiho,
mach dir mal klar, dass du die Aufgabenstellung auch abändern kannst zu:
"Sei [mm] $f:\left[\bruch{b-a}{2},\bruch{c-b}{2}\right]\to\IR$ [/mm] stetig und auf [mm] $\left[\bruch{b-a}{2},\bruch{c-b}{2} \right]\setminus\{b\}$ [/mm] differenzierbar..."
Denn die restlichen Teilintervalle spielen ja gar keine Rolle...
Gruß,
Gono
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Hi. Danke auf eine ähnlich Idee bin ich auch gerade gekommen. Würde das hier auch Funktionieren?
Sei [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] $a+\delta [/mm] < b $ und [mm] $c-\delta [/mm] > b$ [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] $f:[a+\delta [/mm] , [mm] c-\delta] \rightarrow \mathbb [/mm] R $ stetig und auf $]a+ [mm] \delta [/mm] , b[ [mm] \cup [/mm] ]b, c - [mm] \delta[ [/mm] $ diffbar
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Hiho,
ja das geht.
Ist ja nix anderes als ich dir sagte.....
Gruß,
Gono.
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Ok hab noch eine Frage:
Wenn ich jetzt also weiter mache:
Sei $d [mm] \in [/mm] ]b, [mm] c-\delta[$ [/mm] dann existiert ja nach Mittelwertsatz:
$f'(d) = [mm] \frac{f(c-\delta) - f(b)}{(c-\delta)-b}$
[/mm]
Kann ich jetzt einfach ein $x$ definieren mit $x := [mm] c-\delta$ \Rightarrow
[/mm]
$f'(d) = [mm] \frac{f(x) - f(b)}{x-b} [/mm] = f'(b)$ ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 17.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok hab noch eine Frage:
> Wenn ich jetzt also weiter mache:
> Sei [mm]d \in ]b, c-\delta[[/mm] dann existiert ja nach
> Mittelwertsatz:
>
> [mm]f'(d) = \frac{f(c-\delta) - f(b)}{(c-\delta)-b}[/mm]
So lautet der MWS nicht !!!
>
> Kann ich jetzt einfach ein [mm]x[/mm] definieren mit [mm]x := c-\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]f'(d) = \frac{f(x) - f(b)}{x-b} = f'(b)[/mm] ?
Unsinn !
FRED
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OK dachte mir schon dass das falsch ist, also der zweite Teil.
aber warum ist der MWS falsch?
Muss es dann $ f'(d) = [mm] \frac{f(c-\delta) - f(a + \delta)}{(c - \delta)-(a + \delta)} [/mm] $
Ich versteh halt nicht wie das mit dieser Vereinigung der zwei offenen Intervalle dann funktioniert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 19.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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