Ableitung Kettenregel Leibnitz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:15 Do 17.11.2005 | | Autor: | Alice |
Schönen guten Morgen!
Ich möchte folgende Funktion mit Hilfe der Kettenregel in der Leibnitz'schen Form nach G ableiten:
[mm] Y=C(Y-T)+I+G [/mm]
wobei T, I, und G mit einem Oberstricht versehen sind, den ich aber mit dem Formelsystem hier nicht machen kann... Der Oberstrich soll dabei verdeutlichen, dass die Größen exogen sind, d.h., T und I ändern sich also durch eine Änderung von G nicht.
So, als erstes möchte ich sagen, dass ich mit der 'normalen' Kettenregel keine Probleme hatte und jetzt hier bei der Leibnitz'schen aber wie der Ochs vorm Berg steh und keinerlei Zusammenhang erkennen kann.
Folgende Hinweise fand ich in verschiedenen Formelsammlungen:
[mm] h(x)=f(g(x)) [/mm]
[mm] h'(x)=f'(g(x))*g'(x) [/mm] (soweit klar und mir bekannt, wende ich auch an)
[mm] f(y)=z [/mm]; [mm] g(x)=y [/mm]; [mm] h(x)=z [/mm] woraus laut Formelsammlung folgt:
[mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{dz}{dy}*\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Tja, so weit die Formelsammlungen, wobei mir nicht wirklich klar ist, was da passiert.
In meiner Beispielaufgabe geht es jetzt folgendermaßen los:
[mm] Y = C (Y-T) + I + G [/mm]
[mm] \bruchd{dY}{dG} [/mm] = [mm] \bruch{d[C(Y-T)+I+G}{dG}
[/mm]
[mm] \bruchd{dY}{dG} [/mm] = [mm] \bruch{d[C(Y-T)}{dG}+\bruch{dI}{dG}+\bruch{dG}{dG}
[/mm]
So und nun kommt ein Sprung, den ich nicht mehr nachvollziehen kann:
[mm] \bruchd{dY}{dG} [/mm] = [mm] \bruch{dY}{dG} \bruch{dC}{dY}+0+1
[/mm]
woher 0 und 1 kommen ist mir klar, mir geht es um den Teil davor. Wieso kann ich das nicht nach der alten, mir bekannten Kettenregel machen? Bin vollkommen verwirrt!
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
So siehts aus und ich möchte noch dazu sagen, dass es mir darum geht, den kompletten Schritt zu kapieren und mich Eure Hilfe bestimmt sehr weiter bringen würde!
Also vielen Dank schonmal und bis bald!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Do 17.11.2005 | | Autor: | zur |
Hallo Alice
Bei deiner Funktion ist Y von G abhängig und somit ist die Ableitung von Y nach G nicht null. C*T allerdings ist nicht von G abhängig und wird bei der Ableitung nach G verschwinden. Somit bleibt nur noch C*Y. Und so wie ich das sehe, kann da die Kettenregel angewendet werden.
Gruss zur
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 17.11.2005 | | Autor: | Alice |
Hallo Zur, hallo alle anderen!
Danke für Deine schnelle Antwort, aber das hilft mir beim Verständnis nur teilweise weiter bzw. war mir auch bekannt, mir gehts mehr um die einzelnen Schritte und die Logik des Ableitens nach Leibnitz.
Also zur Vereinfachung (denn darum gehts mir nicht) lass ich jetzt mal den hinteren Teil der Funktion weg und beschränke mich auf C(Y-T).
[mm]Y=C(Y-T)[/mm]
daraus folgt für mich (bitte um Korrektur, falls der Schritt oder ein folgender falsch ist)
[mm]dY/dG= \bruch{dC}{d(Y-T)} * \bruch{d(Y-T)}{dG} [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]dY/dG= \bruch{dC}{dY-dT} * \bruch{dY-dT}{dG} [/mm]
so, daraus kann ich natürlich noch machen
[mm]dY/dG= \bruch{dC}{dY-dT} * (\bruch{dY}{dG}-\bruch{dT}{dG}) [/mm]
und dann fällt natürlich [mm] \bruch{dT}{dG} [/mm] weg, weil ich die Konstante T nicht nach G ableiten kann. Aber den Faktor [mm] \bruch{dC}{dY-dT}, [/mm] den kann ich doch nicht auf die gleiche Weise zerlegen und das T so eleminieren, oder?
Also meine Frage: Was passiert mit [mm] \bruch{dC}{dY-dT}, [/mm] nach welcher Regel kann das dT da (einfach...?) wegfallen?
|
|
|
| |
|
Hallo Alice,
mal ein paar Worte zur 'Leibnitz-Ableitung' allgemein. Erstmal: es gibt keine besondere kettenregel nach leibnitz oder so etwas. Es ist lediglich eine etwas verkürzte und für viele (besonders physiker...  ) intuitiviere schreibweise der standard-ableitungsregeln.
wenn du eine funktion $y=f(x)$ hast, kannst du statt $f'(x)$ auch [mm] $\bruch{dy}{dx}$ [/mm] schreiben. Das ist eine intuitive schreibweise, da die ableitung der grenzwert des differenzenquotienten ist. $dx$ bzw. $dy$ kann man also als infinitesimale differenzen auffassen.
hast du nun $ h(x)=f(g(x)) $, so gilt nach der kettenregel natürlich
[mm] $h'(x)=f'(g(x))\cdot [/mm] g'(x)$
DAS ist die kettenregel. Setzt man nun $f(y)=z$,$g(x)=y$ und $h(x)=z$ (wie du in der frage), so folgt tatsächlich:
$ [mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{dz}{dy}\cdot{}\bruch{dy}{dx} [/mm] $
was aber, wenn du es genau vergleichst, nichts anderes als die normale kettenregel ist, nur in anderer schreibweise. das erstaunliche an dieser schreibeweise ist, dass man mit den leibnitzschen ableitungen fast so rechnen kann wie mit brüchen, die kettenregel sieht fast so aus wie eine erweiterung von einem bruch.
aber nochmal: es handelt sich um die gleichen regeln nur in anderer form.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Alice |
Hallo Matthias,
danke für Deine Antwort, unter diesen Umständen ;) lass ich mir die Sache einfach noch mal durch den Kopf gehen! Hast mir sehr weitergeholfen.
|
|
|
|
