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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion.
[mm] F_{2}: \IR \to \IR F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt} [/mm] |
Hallo,
In einem anderen Forumbeitrag hatte ich gezeigt, dass für [mm] F_{2}(x)=\integral_{0}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt} [/mm] die Ableitung [mm] (F_{2}(x))'=2x*e^{x^{4}}. [/mm] Das setze ich voraus.
Zunächst gilt für x=0 [mm] x^{2}=0 [/mm] und x=1 [mm] x^{2}=1 [/mm]
[mm] F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=0 [/mm] und somit [mm] (F_{2})'=0
[/mm]
sei x verschieden von 0 und 1
obdA. gilt [mm] xx^{2} [/mm] so ändert sich das Vorzeichen beim Vertauschen der Grenzen im Integral
jetzt betrachte ein beliebiges a [mm] \in (x,x^{2})
[/mm]
[mm] F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=\integral_{x}^{a}{e^{t^{2}} dt}+ \integral_{a}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=-(\integral_{a}^{x}{e^{t^{2}} dt})+ \integral_{a}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}
[/mm]
Jetzt kann man die Summanden ableiten.
[mm] (F_{2})'=-e^{x^{2}}+2x*e^{x^{4}}
[/mm]
Das Problem ist [mm] (F_{2}(0))'=-1 [/mm] und oben steht es soll 0 sein. Was habe ich falsch gemacht?
Lg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:06 So 19.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zahlenfreund!
> Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion.
> [mm]F_{2}: \IR \to \IR F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}[/mm]
> In einem anderen Forumbeitrag hatte ich gezeigt, dass für
> [mm]F_{2}(x)=\integral_{0}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}[/mm] die Ableitung
> [mm](F_{2}(x))'=2x*e^{x^{4}}.[/mm]
Ja, das ist eine Folgerung aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel.
> Das setze ich voraus.
>
> Zunächst gilt für x=0 [mm]x^{2}=0[/mm] und x=1 [mm]x^{2}=1[/mm]
> [mm]F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=0[/mm]
Ja.
> und somit
> [mm](F_{2})'=0[/mm]
Nein.
Du hast offenbar [mm] $x\mapsto F_2(0)$ [/mm] (bzw. [mm] $x\mapsto F_2(1)$) [/mm] anstelle von [mm] $x\mapsto F_2(x)$ [/mm] abgeleitet.
> sei x verschieden von 0 und 1
> obdA. gilt [mm]xx^{2}[/mm] so ändert sich das
> Vorzeichen beim Vertauschen der Grenzen im Integral
OBdA macht aus meiner Sicht nur beim Beweis einer bestimmten Behauptung Sinn.
Falls diese Behauptung [mm] $F_2'(x)=-e^{x^{2}}+2x*e^{x^{4}}$ [/mm] für alle [mm] $x\not=0,1$ [/mm] lautet, sehe ich nicht, wie der Fall [mm] $x>x^2$ [/mm] auf den Fall [mm] $x
Also erscheint mir dieses oBdA ungerechtfertigt.
Du müsstest bei deiner Vorgehensweise zusätzlich also explizit den Fall [mm] $x>x^2$ [/mm] betrachten.
> jetzt betrachte ein beliebiges a [mm]\in (x,x^{2})[/mm]
>
> [mm]F_{2}(x)=\integral_{x}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=\integral_{x}^{a}{e^{t^{2}} dt}+ \integral_{a}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}=-(\integral_{a}^{x}{e^{t^{2}} dt})+ \integral_{a}^{x^{2}}{e^{t^{2}} dt}[/mm]
Achtung: So wie du a eingeführt hast, hängt a von x ab und ist somit gar keine Konstante!
Damit lassen sich die Summanden nicht so einfach ableiten.
Abhilfe: Wähle stattdessen einen festen Wert [mm] $a\in\IR$ [/mm] z.B. $a=0$.
Dann gilt zwar im Allgemeinen nicht [mm] $a\in(x,x^2)$, [/mm] aber das benötigst du gar nicht.
So ist auch die Fallunterscheidung nach [mm] $xx^2$ [/mm] überflüssig.
> Jetzt kann man die Summanden ableiten.
> [mm](F_{2})'=-e^{x^{2}}+2x*e^{x^{4}}[/mm]
Das Endergebnis stimmt, die Begründung nicht.
> Das Problem ist [mm](F_{2}(0))'=-1[/mm]
Letzteres stimmt.
(Herzuleiten versucht hast du [mm] $(F_{2})'=-e^{x^{2}}+2x*e^{x^{4}}$ [/mm] jedoch nur für [mm] $x
> und oben steht es soll 0
> sein.
Letzteres war falsch.
> Was habe ich falsch gemacht?
S.o.
Viele Grüße
Tobias
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