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Ableitung: eine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mi 31.08.2005
Autor: biene23

Hi!

Bin beim Ableiten auf etwas gekommen, was ich nicht genau weiß:

Wie ist die Ableitung von cos³(3x)?

ist es

a.) 3 cos (3x) *3
b.) die Ableitung nach Produktregel also ausgeschreieben
cos(3x)*(cos²(3x))=cos(3x)*cos(3x)*cos(3x)
c.) etwas anderes


Wäre für Lösungsvorschläge sehr dankbar.

Bis denne Biene

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung: Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mi 31.08.2005
Autor: Roadrunner

Hallo biene,

[willkommenmr]  !!


Du kannst entweder Deinen Weg b.) beschreiten, der mir aber ziemlich umständlich erscheint. Oder ...


Hast Du denn bereits von der MBKettenregel [mm] ($\leftarrow$ [i]click it ![/i]) gehört? Damit kannst Du die gesuchte Ableitung ziemlich schnell bilden. Dabei musst Du diese Kettenregel gleich zweimal anwenden. Gruß vom Roadrunner [/mm]
Bezug
                
Bezug
Ableitung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 31.08.2005
Autor: biene23

Danke für die warme Begrüßung!

Kettenregel ist ja dann - um auf mein Problem zurückzukommen - von der Form

    h( g(x) )³ = cos³(3x)

Die innere Ableitung (g(x)`) ist mir klar, aber die äußere ist problematisch:

gem. dem Beispiel 1.) für die Kettenregel wäre die Lösung dann ja

3*cos²(3x) * 3 = 9 * cos²(3x)

Mir ist bloß noch nich ganz klar, warum ich die Kettenregel hier 2x anwenden sollte.
Bezug
                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mi 31.08.2005
Autor: Julius

Hallo Biene!

> Danke für die warme Begrüßung!

Auch von mir ein herzliches Willkommen! :-)
  
> Kettenregel ist ja dann - um auf mein Problem
> zurückzukommen - von der Form
>  
> h( g(x) )³ = cos³(3x)

Eigentlich sind hier drei Funktionen hintereinandergeschachtelt (uff! :-)).

Wir haben:

$f(x) = [mm] \red{\cos}\blue{^3} \red{(}\green{3x}\red{)} [/mm] = [mm] \blue{k(}\red{h(}\green{g(x)}\red{)}\blue{)}$ [/mm]

mit

[mm] $\green{g(x) = 3x}$, [/mm]
[mm] $\red{h(x) =\cos(x)}$, [/mm]
[mm] $\blue{k(x) = x^3}$. [/mm]

Siehst du das?

Wir haben:

$g'(x) = 3$,
$h'(x)= [mm] -\sin(x)$, [/mm]
$k'(x) = [mm] 3x^2$, [/mm]

und die zweifache Anwendung der Kettenregel liefert

$f'(x) = [mm] k'(\red{h(}\green{g(x)}\red{)}) \cdot h'(\green{g(x)}) \cdot [/mm] g'(x)$,

also:

$f'(x) = 3 [mm] (\red{\cos(}\green{3x}\red{)})^2 \cdot (-\sin(\green{3x})) \cdot [/mm] 3 = - 9 [mm] \cos^2(3x) \sin(3x)$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius

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