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Ableitung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 06.06.2011
Autor: Autist

Hallo!

Ich soll [mm] \wurzel{|xy|} [/mm] nach x ableiten, nach Kettenregel ergibt sich dann [mm] y*1/2*(|xy|)^{-1/2}*|xy|' [/mm]
Also innerste * äußerste * mittlere Ableitung, wobei ich die mittlere erstmal so stehen gelassen hab, weil ich nicht weiß, wie ich den Betrag sinnvoll nach x ableiten soll.

Ich hab per Fallunterscheidung für die Ableitung des Betrages mal auf [mm] \bruch{x*y^2}{|x*y|} [/mm] getippt, weil das so weit die richtigen Werte rausgibt, aber meien Ableitung soll im Nullpunkt existieren, und damit wäre der Nenner 0 und nicht so gut.

Weiß jemand genau, wie man das ableitet?

Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 06.06.2011
Autor: chrisno

Du bist schon auf dem richtigen Weg. Mach eine Fallunterscheidung x > 0, x < 0 und x = 0.
Für x > 0 musst Du nun wieder die Fälle y > 0, y < 0 und y = 0 unterscheiden.
Für y > 0 fallen die Betragsstriche weg, das kannst Du ja ableiten.
Für y = 0 ist die Funktion konstant, die kannst Du auch ableiten.
Für y < 0 nimmst Du ein Minuszeichen und bist die Betragsstriche wieder los.
Entsprechend gehst Du für x < 0 vor.

Den letzten Fall x = 0 siehst Du zurecht als Problem.
>aber meien Ableitung soll im Nullpunkt existieren,
Das verstehe ich leider nicht, was Du da sagen willst. Wer sagt "soll"? Plotte mal die Funktion für y=1.
Dann schau Dir mal den Verlauf bei x=0 an. Welche Steigung soll die Tangente da haben?

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mo 06.06.2011
Autor: Autist

Danke chrisno!

>Das verstehe ich leider nicht, was Du da sagen willst

Entschuldigung, ich hätte wohl besser die komplette Aufgabe angeben sollen:
Also ich habe eine Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm]
mit [mm] f(z)=\wurzel{|Re(z)*Im(z)|} [/mm]
Nun soll ich zeigen, dass f im Nullpunkt die "Cauchy-Riemann-Gleichung" erfüllt. Sprich: Ich betrachte Re(f) und Im(f), diese sind dann jeweils Abbildungen con [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Diese leite ich beide jeweils in die erste und zweite Koordinate ab und dann sollen sie eine bestimmte Form haben - nämlich [mm] \partial_{1}Re(f)=\partial_{2}Im(f) [/mm] und [mm] \partial_{2}Re(f)=-\partial_{1}Im(f). [/mm]

Da [mm] f(\IC)\subseteq \IR [/mm] hab ich Re(f)=f und [mm] Im(f)\equiv0 [/mm] angenommen. Und [mm] \partial_{1}Re(f) [/mm] entspricht dann dem obigen Problem, indem ich für [mm] z=x+yi=\vektor{x \\ y} \in \IC [/mm] verwendet habe. Und diese partielle Ableitung sollte zumindest im Punkt [mm] z=0=\vektor{0 \\ 0} [/mm] existieren, da sonst die Aufgabe oder meine Umformungen falsch sind.

Bezug
                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Di 07.06.2011
Autor: fred97

Mit $z=x+iy ~~(x,y [mm] \in \IR) [/mm] $  ist doch

      $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,

wobei $u(x,y) = [mm] \wurzel{|xy|}$ [/mm]  und   $ v [mm] \equiv [/mm] 0$ ist.

Dann haben wir schon mal:

             (1)  [mm] $v_x(0,0)=v_y(0,0) [/mm] =0$

Jetzt berechnen wir [mm] u_x(0,0) [/mm]  und  [mm] u_y(0,0) [/mm] :

   [mm] $u_x(0,0)= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{u(h,0)-u(0,0)}{h}$. [/mm]

Jetzt siehst Du hoffentlich, dass


              (2)  [mm] $u_x(0,0)=0$ [/mm]

ist. Genauso erhält man

               (3)  [mm] $u_y(0,0)=0$. [/mm]

So, nun betrachte mal (1), (2) und (3). Was bekommst Du ?

FRED

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