Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie , daß die Ableitung der Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] , [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] gleich (2x 2y) ist. |
Hallo,
um die Ableitung von solchen Funktionen zu bestimmen, bildet man die partiellen Ableitungen ( man bildet grad f).
Der Beweis wäre einfach, wenn man sagen würde: Es reicht aus, die partiellen Ableitungen zu bestimmen und diese sind 2x bzw. 2y (grad(f) =
(2x 2y).
Diese Vorgehensweise ist Standard.
Jedoch , ich denke, daß man bei dieser Aufgabe zuerst zeigen sollte, dass die Ableitung:= df(x,y) = grad f(x,y).
Ich habe eine Definition von df(x,y) im Skript gefunden, die jedoch nicht so einfach zu verstehen ist (df(x,y) ist eine homogen lineare Funktion , die mit der Definition "differenzierbar im Punkt p" zusammenhängt.
Meine Frage ist also: wie zeigt man df(x,y)=gradf(x,y) ?
Muss man die Definition von der totalen Differenzierbarkeit verwenden oder funktioniert das einfacher?
PS: Im Skript gibt es ein Lemma, dass falls f in p differenzierbar ist, dann
gilt df(p) = <gradf(p), [mm] \Delta [/mm] x> . Das Problem ist hier , dass man erst zeigen soll : f ist differenzierbar in p.
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hattet Ihr folgenden Sätze:
SATZ 1: Ist $ [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] $ auf [mm] \IR^2 [/mm] partiell differenzierbar und sind die partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig, so ist f auf [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar .
SATZ 2: Ist $ [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] $ auf [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar, so ist f auf [mm] \IR^2 [/mm] paartiell differenzierbar und
f'= gradf auf [mm] \IR^2.
[/mm]
FRED
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