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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 26.10.2010 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich habe keine Frage, denn ich wollte nur fragen, ob mir jemand bestätigen könnte, ob ich diese Ableitungen richtig berechnet habe. Das sind Aufgaben für die Klausur und leider hab ich keine Lösungszettel:
a)
[mm] \bruch{x^{2}-2}{x^{2}+2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(x^{2}+2)*2x-2x(x^{2}-2)}{(x^{2}+2)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{2x-2x^{3}+4x}{x^{2}+2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2x^3+6x}{x^{2}+2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^{2}+2)(-6x^{2}+6)-2x(-2x^{3}+6x)}{(x^{2}+2)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{-6x^2+6-4x^4-12x^2}{x^{2}+2}
[/mm]
[mm] \bruch{-4x^4-18x^2+6}{x^{2}+2}
[/mm]
b)
[mm] \bruch{x^2-1}{x-4}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(x-4)*2x-1(x^2-1)}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{2-x^2+1}{x-4}
[/mm]
[mm] \bruch{-x^2+3}{x-4}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x-4)*2-1(-x^2-1)}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2x+x^2-3}{x-4}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2-2x-3}{x-4}
[/mm]
Falls ich das nun richtig gerechnet habe, wie kann ich dann die rel. Extreme berechnen?
[mm] \bruch{-2x^3+6x}{x^{2}+2}=0
[/mm]
und weiter?
Ein Dankeschön schon mal im Vorraus.
Crashday
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Halihalo,
>
> ich habe keine Frage, denn ich wollte nur fragen, ob mir
> jemand bestätigen könnte, ob ich diese Ableitungen
> richtig berechnet habe. Das sind Aufgaben für die Klausur
> und leider hab ich keine Lösungszettel:
>
> a)
> [mm]\bruch{x^{2}-2}{x^{2}+2}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(x^{2}+2)*2x-2x(x^{2}-2)}{(x^{2}+2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x-2x^{3}+4x}{x^{2}+2}[/mm]
Hier sind 3 Fehler. Richtig ist: [mm]\bruch{2x^3-2x^{3}+8x}{(x^{2}+2)^2}= \bruch{8x}{(x^{2}+2)^2}[/mm]
FRED
>
> [mm]\bruch{-2x^3+6x}{x^{2}+2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(x^{2}+2)(-6x^{2}+6)-2x(-2x^{3}+6x)}{(x^{2}+2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-6x^2+6-4x^4-12x^2}{x^{2}+2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-4x^4-18x^2+6}{x^{2}+2}[/mm]
>
> b)
> [mm]\bruch{x^2-1}{x-4}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(x-4)*2x-1(x^2-1)}{(x-4)^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2-x^2+1}{x-4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-x^2+3}{x-4}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(x-4)*2-1(-x^2-1)}{(x-4)^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2x+x^2-3}{x-4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2-2x-3}{x-4}[/mm]
>
> Falls ich das nun richtig gerechnet habe, wie kann ich dann
> die rel. Extreme berechnen?
>
> [mm]\bruch{-2x^3+6x}{x^{2}+2}=0[/mm]
>
> und weiter?
>
> Ein Dankeschön schon mal im Vorraus.
>
> Crashday
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 26.10.2010 | | Autor: | Crashday |
Opps :D
Aus Summen kürzen nur die Dummen :D
Wenn die Aufgabe jetzt einfach mal so heißen würde:
[mm] \bruch{x^2-1}{(x*(-4))}
[/mm]
[mm] \bruch{(x*(-4))*2-1(x^2-1)}{(x*(-4)^2)}
[/mm]
Dann dürfte ich das kürzen oder?
Ich hab es mal so gerechnet, dass ich gar nichts gekürzt habe (kann man überhaupt etwas kürzen?). Das was Fred97 in der 1. Ableitung bei a) raus hat, habe ich genauso. Hier ist mal der Rest, was ich hoffentlich richtig gerechnet habe:
a)
[mm] f'(x)=\bruch{8x}{(x^2+2)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^2+2)^2*8-8x*2*(x^2+2)*(2x)}{(x^2+2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{(x^4+4x^2+4)*8-8x*2*(2x^3+4x)}{(x^2+2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{8x^4+32x^2+32-8x(4x^3+8x)}{(x^2+2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{8x^4+32x^2+32-32x^4-64x^2}{(x^2+2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{-24x^4-32x^2+32}{(x^2+2)^4}
[/mm]
b) [mm] \bruch{x^2-1}{x-4}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(x-4)*2x-1(x^2-1)}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^2-8x-x^2+1}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2-8x+1}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x-4)^2*2x-8-x^2-8x+1*2*(x-4)*1}{(x-4)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{(x^2-8x+16)*2x-8-x^2-8x+2x-8}{(x-4)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^3-16x^2+32x-8-x^2-8x+2x-8}{(x-4)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^3-17x^2+26x-16}{(x-4)^4}
[/mm]
> Falls ich das nun richtig gerechnet habe, wie kann ich dann
> die rel. Extreme berechnen?
> Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung.
> Und: ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null wird.
Ich hab das noch nicht so wirklich verstanden. Mir wäre es wirklich lieber, wenn du mir irgendein Beispiel zeigst. Am besten mit irgendeiner Aufgabe dort oben, sonst frage ich noch 100x. Mit einem Beispiel ist das für mich viel lieber.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn die Aufgabe jetzt einfach mal so heißen würde:
> [mm]\bruch{x^2-1}{(x*(-4))}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x*(-4))*2-1(x^2-1)}{(x*(-4)^2)}[/mm]
>
> Dann dürfte ich das kürzen oder?
nein, so wenig wie vorher! dein x*(-4) steht doch wieder nur in einem Summanden.
also wenn man kürzen will, sollte man erst ausklammern, so dass dann da steht (Ausdruck1)*(Ausdruck2) entsprechend im Nenner, dann kann man kürzen wenn oben und unten 2 gleich Faktoren stehen
> Ich hab es mal so gerechnet, dass ich gar nichts gekürzt
> habe (kann man überhaupt etwas kürzen?). Das was Fred97
> in der 1. Ableitung bei a) raus hat, habe ich genauso. Hier
> ist mal der Rest, was ich hoffentlich richtig gerechnet
> habe:
> a)
> [mm]f'(x)=\bruch{8x}{(x^2+2)^2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(x^2+2)^2*8-8x*2*(x^2+2)*(2x)}{(x^2+2)^4}[/mm]
hier solltest du jetzt [mm] x^2+2 [/mm] ausklammern und kürzen°
also [mm] $f''(x)=\bruch{(x^2+2)^2*8-8x*2*(x^2+2)*(2x)}{(x^2+2)^4}=f''(x)=\bruch{(x^2+2)*((x^2+2)*8-8x*2*(2x))}{(x^2+2)^4}$
[/mm]
> [mm]\bruch{(x^4+4x^2+4)*8-8x*2*(2x^3+4x)}{(x^2+2)^4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8x^4+32x^2+32-8x(4x^3+8x)}{(x^2+2)^4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8x^4+32x^2+32-32x^4-64x^2}{(x^2+2)^4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-24x^4-32x^2+32}{(x^2+2)^4}[/mm]
scheint richtig
> b) [mm]\bruch{x^2-1}{x-4}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(x-4)*2x-1(x^2-1)}{(x-4)^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^2-8x-x^2+1}{(x-4)^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2-8x+1}{(x-4)^2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(x-4)^2*2x-8-x^2-8x+1*2*(x-4)*1}{(x-4)^4}[/mm]
hier fehlen Klammern :
[mm] $f''(x)=\bruch{(x-4)^2*2x-8-(x^2-8x+1)*2*(x-4)*1}{(x-4)^4}$
[/mm]
dadurch ist der Rest falsch, auch hier wieder x-4 ausklammern und kürzen
zum Rest:
> [mm] $f'(x)=\bruch{8x}{(x^2+2)^2}$
[/mm]
f'=0 also [mm] $0=\bruch{8x}{(x^2+2)^2}$ [/mm] ist nur richtig, wenn der Zähler 0 ist, also 8x=0, x=0
Das müsste die aber klar sein aus A/B=0 folgt A=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 26.10.2010 | | Autor: | Crashday |
Vielen Dank schon mal. Ich denke, das Kürzen habe ich jetzt verstanden. Hier sind jetzt nochmal die Aufgaben, wo ich es auch mitgekürzt habe (nur bei der 2. Ableitung, da man bei der 1. nicht kürzen kann.)
a)
[mm] f'(x)=\bruch{8x}{(x^2+2)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^2+2)^2*8-8x*2*(x^2+2)*2x}{(x^2+2)^4}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x^2+2)*8-8x*2*2x}{(x^2+2)^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{8x^2+16-32x}{(x^2+2)^3}
[/mm]
Rel. Extrema wären bei: x=0
Wendestelle bei: x=0.58 und bei x=3.41
b)
f'(x)= [mm] \bruch{x^2-8x+1}{(x-4)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x-4)^2*2x-8-(x^2-8x+1)*2*(x-4)*1}{(x-4)^4}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x-4)*2x-8-(x^2-8x+1)*2}{(x-4)^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(x-4)*2x-8-(2x^2-16x+2)}{(x-4)^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2x^2-8x-8-2x^2+16-2}{(x-4)^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{8x-10}{(x-4)^3}
[/mm]
Rel. Extrema: x=7.87 und bei x=0.12
Wendestellen bei: x=1.25
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du rechnest zu leichtsinnig!
a) bei f'' im Zähler hast du 8x+2*2x das gibt nicht 32x!
bei b) Extrema richtig, du musst noch untersuchen ob max oder min
f'' schon wieder ne Klammer weggelassen! die suchst du jetzt selbst
Gruss leduart
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Soweit okay.
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Ich fürchte, dass Du hier aus Summen gekürzt hast ... leder ganz falsch!
