Ableitung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 24.10.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Ableitung der Funktion F(x)= [mm] \integral_{-x^{2}}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}, x\in [/mm] [0,1]. |
Hallo,
ich habe mit folgendem Ansatz probiert:
F(x)= [mm] \integral_{-x^{2}}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}=\integral_{-x^{2}}^{0}{e^{t^{2}} dt}+\integral_{0}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}=
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}-\integral_{0}^{-x^{2}}{e^{t^{2}} dt}.
[/mm]
Die Ableitung von der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen.
Die Ableitung vom ersten Summanden (nenne man es G) ist f ( da G'=f)
Die Ableitung vom zweiten Summanden ist auch f.
Insgesamt, mit der Differenz, kommt 0 raus.
Ist das richtig, oder ist etwas unstimmig?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 24.10.2010 | | Autor: | wauwau |
na ja da hast du die innere Ableitung unterschlagen:
Setze mal
[mm] $G(x)=\integral_{0}^{x}{e^{t^2} dt}$
[/mm]
dann weißt du ja, dass
$G'(x) = [mm] e^{x^2}$ [/mm] ist
dein
$F(x) = [mm] G(x^3)-G(-x^2)$
[/mm]
also
[mm] $\frac{d\integral_{0}^{x^3}{e^{t^2} dt}}{dx} [/mm] = [mm] G'(x^3)3x^2= 3x^2e^{x^6}$
[/mm]
[mm] $\frac{d\integral_{0}^{-x^2}{e^{t^2} dt}}{dx} [/mm] = [mm] -G'(-x^2)2x= -2xe^{-x^4}$
[/mm]
also insgesamt
$F'(x) = [mm] 3x^2e^{x^6}+2xe^{-x^4}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 24.10.2010 | | Autor: | wauwau |
schau mal meine nun ausgerechnete Version der Antwort an
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 24.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Berechnen Sie die Ableitung der Funktion F(x)=
> [mm]\integral_{-x^{2}}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}, x\in[/mm] [0,1].
> Hallo,
>
> ich habe mit folgendem Ansatz probiert:
>
> F(x)= [mm]\integral_{-x^{2}}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}=\integral_{-x^{2}}^{0}{e^{t^{2}} dt}+\integral_{0}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}=[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{x^{3}}{e^{t^{2}} dt}-\integral_{0}^{-x^{2}}{e^{t^{2}} dt}.[/mm]
>
> Die Ableitung von der Summe ist gleich der Summe der
> Ableitungen.
> Die Ableitung vom ersten Summanden (nenne man es G) ist f
> ( da G'=f)
> Die Ableitung vom zweiten Summanden ist auch f.
> Insgesamt, mit der Differenz, kommt 0 raus.
>
> Ist das richtig, oder ist etwas unstimmig?
da ist mMn (=meiner Meinung nach) etwas unstimmig:
Es gilt für (bspw.) [mm] $F(x):=\int_0^x f(t)dt\,,$ [/mm] dass
[mm] $$F'(a)=\lim_{x \to 0}\left(\int_a^x f(t)dt/x\right)=f(a)\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $f\,$ [/mm] (bspw.) stetig ist.
Um [mm] $\lim_{x \to 0}(F(x^3)-F(x^2))/x$ [/mm] zu berechnen solltest Du dann beachten, dass [mm] $F(x^j)$ [/mm] für eine Verknüpfung $(F [mm] \circ g_j)(x)$ [/mm] (genauer: Verknüpfung ausgewertet an der Stelle [mm] $x\,$) [/mm] mit [mm] $g_j(x)=x^j$ [/mm] ($j=1,2$) steht. Bzw. Du kannst (für $x [mm] \ge [/mm] 0$) auch schreiben
[mm] $$\int_0^{x^j}f(t)dt=\int_0^{x}f(t^j)dt\,.$$
[/mm]
Damit sollte das ganze dann sauber durchzurechnen sein.
P.S.:
Für $x [mm] \le [/mm] 0$ und ungerade [mm] $j\,$ [/mm] ist
[mm] $$\int_{x^j}^0 f(t)dt=-\int_0^{-x^j}f(t)dt\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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