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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 23.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo!
Wieder umnachtet mich geistige Dunkelheit bei folgender Aufgabe:
[mm] e^{3ln \wurzel[3]{1-sin²x}}
[/mm]
zu bilden wäre die Ableitung an der Stelle [mm] x_{0}= \bruch{ \pi}{4}
[/mm]
Dazu müsse man aber erstmal die erste Ableitung bilden können. Es ist mir klar das es eine verkettete Funktion ist aber die Ableitung der inneren Funktion bekomm ich nicht hin.
Wichtig wären für mich die einzelnen Rechenschritte die ihr dabei macht und mit welchen Regeln ihr ableitet.
Danke für die Hilfe
grüße zaaaq
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo zaaq!
Oh oh - eine ganz einfache Funktion schrecklich kompliziert verpackt - aber kein Problem! Bevor du diese Funktion unter mehrfacher Verwendung der Kettenregel abzuleiten versuchst, sollte dir auffallen, dass im Exponent der natürliche Logarithmus zu finden ist. Dies sollte dich alarmieren und dir in Erinnerung rufen, dass der Logarithmus die Umkehrung der Exponentialfunktion ist. Wo auch immer im Argument einer Funktion ihre Umkehrfunktion zu finden ist, solltest du versuchen, dir dies zu Nutze zu machen und durch geschicktes Umformen beide Funktionen "wegfallen" zu lassen. Dies geht hier erstaunlich einfach. Es gilt bekanntlich [mm] $a^{x\cdot y}=\left( a^x\right) [/mm] ^y$; also auf das konkrete Beispiel angewandt [mm] $e^{3\cdot ln\left( \sqrt[3]{1-sin^2(x)}\right)}=\left( e^{ln\left(\sqrt[3]{1-sin^2(x)}\right)}\right) [/mm] ^3$; nun kommt der entscheidende Schritt: es ist nämlich [mm] $e^{ln(x)}=ln(e^x)=x$ [/mm] (eben weil Exponentialfunktion und Logarithmus invers zueinander sind); der Term lässt sich also zu [mm] $\sqrt[3]{1-sin^2(x)}^3=1-sin^2(x)=cos^2(x)$ [/mm] vereinfachen. So, und die Funktion darfst du nun selbst ableiten :-D
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 23.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Hanno
leider fällt mir soetwas nicht auf wenn ich auf so einen Ausdruck schaue.
Aber Danke für deine schnelle Hilfe.
grüße zaaaq
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