Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Führen sie eine Kurvendiskussion durch :
f(X)=3x*e^-x+1 |
Hallo,
wie oben steht muss ich eine Kurvendiskussion machen und benötige die Ableitung, jedoch blick ich da nicht durch:
Also ich weiß, dass ich die Produktregel benötige und habe es einfach probiert:
f(X)=3x*e^-x+1
f'(x)=3*e^-x+1+3x*(-e^-x+1)
und dann komme ich nicht weiter! Wie fasse ich das zusammen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Nun kannst Du hier [mm] $3*e^{-x+1}$ [/mm] ausklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Also dann:
f'(x)=3*(x-e^-x+1) ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Hast Du denn damit meinen obigen Tipp befolgt? Dann müsste außerhalb der Klammer auch der Faktor [mm] $e^{-x+1}$ [/mm] stehen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 01.09.2008 | | Autor: | yuffie |
Wie wäre es wenn du einfach die Exponenten zusammen fügst.
Somit bekommst du für
[mm] F'=e^{-x+1} [/mm] *(3-3x)
reicht dir das als Zusammenfassung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
ja und ich beötige ja noch die 2. und 3. ableitung
f''(x)=-e^-x+1*3-3x+e^-x+1*-3 ???
sorry aber ich blicke da überhaut nicht durch die ganzen regeln machen einen ja wahnsinnig
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Leider wirst du nicht umhin kommen, bei dieser Funktionsklasse in den sauren Apfel zu beißen. Leider bietet nunmal die e-Funktion mitunter hässliche Ableitungen :) Aber ich machs für dich mal Schritt für Schritt
[mm]f(x)=3x*e^{-x+1}[/mm] Ausgangsgleichung, stimmt so oder?
[mm]f'(x)=3*e^{-x+1}+3x*(-e^{-x+1})=e^{-x+1}*(3-3x)[/mm]
im folgenden finde ich es einfacher, die ausmultiplizierte Form abzuleiten, daher hab ich nur der Vollständigkeit halber die Zusammenfassung dazugeschrieben
[mm]f''(x)=-3*e^{-x+1}+3*(-e^{-x+1})+3x*(+e^{-x+1})[/mm]
Wie du siehst, wiederholt sich hier schon einiges, der Term 3x... ist nämlich mit der Ausgangsfunktion identisch, bis auf das Vorzeichen, daher kannst du in der zweiten Ableitung ab hier auch die erste wieder einsetzen, halt Vorzeichen vertauschen!
[mm]f''(x)=-3*e^{-x+1}+e^{-x+1}*(-3+3x)=e^{-x+1}*(-6+3x)[/mm]
Und noch ein weiteres Mal:
[mm]f'''(x)=+6*e^{-x+1}+3*e^{-x+1}+3x*(-e^{-x+1})=e^{-x+1}*(9-3x)[/mm]
Damit solltest du eine Gesetzmäßigkeit sehen, die natürlich auch schon viel früher hätte angewendet werden können, war jetzt sehr ausführlich ^^
Das heißt zusammengefasst, [mm]e^{-x+1}[/mm] bleibt konstant, es ändert sich nur in der Klammer jeweils das Vorzeichen und das absolute Glied.
Allgemein könnte man vielleicht sagen
[mm]f^n(x)=\begin{cases} e^{-x+1}*(-3*n+3x) , & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ e^{-x+1}*(+3*n-3x), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
wobei n für die Ableitung steht und [mm] \in \IN
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
genau hier das verstehe ich nicht, wie kommst du auf :
$ [mm] f''(x)=-3\cdot{}e^{-x+1}+3\cdot{}(-e^{-x+1})+3x\cdot{}(+e^{-x+1}) [/mm] $
wenn ich [mm] e^{-x+1}*(3-3x) [/mm] ausmultipliziere dann müsste doch das hier rauskommen?:
[mm] e^{-x+1}*3-e^{-x+1}*3x
[/mm]
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> genau hier das verstehe ich nicht, wie kommst du auf :
>
>
> [mm]f''(x)=-3\cdot{}e^{-x+1}+3\cdot{}(-e^{-x+1})+3x\cdot{}(+e^{-x+1})[/mm]
>
> wenn ich [mm]e^{-x+1}*(3-3x)[/mm] ausmultipliziere dann müsste doch
> das hier rauskommen?:
>
> [mm]e^{-x+1}*3-e^{-x+1}*3x[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist doch auch richtig! ^^ Das ist die erste Ableitung ausmultipliziert. Jetzt musst du das ableiten. Damit leitest du zuerst die [mm] 3*e^{-x+1} [/mm] ab, und das gibt [mm] -3*e^{-x+1}, [/mm] da die innere Ableitung (-1) ist. Dann hast du noch den Teil mit [mm] -e^{-x+1}*3x [/mm] zum Ableiten und das ergibt die erste Ableitung, nur mit umgekehrten Vorzeichen :)
Gruß
Michael B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
alles klar nur dann komme ich immernoch nicht auf :
$ [mm] f''(x)=-3\cdot{}e^{-x+1}+3\cdot{}(-e^{-x+1})+3x\cdot{}(+e^{-x+1}) [/mm] $
sondern auf:
[mm] -e^{-x+1}*-3-e^{-x+1}*3
[/mm]
ps: warum die ableitung von 3 -3 ist verstehe ich auch net!!
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Hallo, gehen wir langsam ran:
[mm] f'(x)=e^{-x+1}(3-3x)
[/mm]
[mm] f'(x)=3*e^{-x+1}-3x*e^{-x+1}
[/mm]
kümmern wir uns um [mm] 3*e^{-x+1}, [/mm] die Ableitung lautet [mm] -3*e^{-x+1}, [/mm] das Vorzeichen - kommt von der inneren Ableitung, also der Ableitung vom Expoenenten -x+1
kümmern wir uns um [mm] -3x*e^{-x+1}, [/mm] nach Produktregel
u=-3x
u'=-3
[mm] v=e^{-x+1}
[/mm]
[mm] v'=-e^{-x+1}
[/mm]
u'*v+u*v'
[mm] -3*e^{-x+1}+(-3x)*(-e^{-x+1})
[/mm]
[mm] -3*e^{-x+1}+3x*e^{-x+1}
[/mm]
aus beiden Teilen ergibt sich also
[mm] f''(x)=-3*e^{-x+1}-3*e^{-x+1}+3x*e^{-x+1}=-6*e^{-x+1}+3x*e^{-x+1}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
also das :
$ [mm] f'(x)=3\cdot{}e^{-x+1}-3x\cdot{}e^{-x+1} [/mm] $
wäre wie du ausgerechnet hast das hier:
$ [mm] -3\cdot{}e^{-x+1}+3x\cdot{}e^{-x+1} [/mm] $
soweit so gut aber wieso kommt da das hier noch davor (in Klammern):
[mm] f''(x)=(-3\cdot{}e^{-x+1})-3\cdot{}e^{-x+1}+3x\cdot{}e^{-x+1}
[/mm]
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Hallo,
[mm] f'(x)=3\cdot{}e^{-x+1}-3x\cdot{}e^{-x+1}
[/mm]
hier kannst du doch nicht einfach nach deinem Willen die Vorzeichen tauschen!!!
die erste Ableitung besteht aus zwei Summanden:
[mm] 3\cdot{}e^{-x+1} [/mm] und
[mm] -3x\cdot{}e^{-x+1}
[/mm]
der Term in der Klammer ist die Ableitung vom 1. Summanden, siehe meine vorhergehende Antwort,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Ich hätte da noch ein paar fragen wenn es euch nichts ausmacht:
also als 2. schritt wolte ih die Nullstellen bestimmen (f(x)=0)
[mm] 3x*e^{-x+1}=0
[/mm]
dann wollte ich erstmal durch 3 teilen und [mm] e^{-x+1} [/mm] wird sowieso nie die x-achse oder?
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Hallo Fatih17!
> Ich hätte da noch ein paar fragen wenn es euch nichts
> ausmacht:
>
> also als 2. schritt wolte ih die Nullstellen bestimmen
> (f(x)=0)
>
> [mm]3x*e^{-x+1}=0[/mm]
>
> dann wollte ich erstmal durch 3 teilen und [mm]e^{-x+1}[/mm] wird
> sowieso nie die x-achse oder?
Wird nie die x-Achse was? Dein Vorgehen ist richtig. [mm] e^{-x+1} [/mm] wird niemals =0, aber x kann ja =0 werden. Also ist 0 eine Nullstelle.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Fatih17 |
Okay also dann wäre es:
[mm] x*\bruch{1}{3}e^{-x+1}=0
[/mm]
und weiter?? ^^
da stehe ich auf dem schlauch^^
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Hallo, deine Funktion lautet [mm] f(x)=3*x*e^{-x+1}, [/mm] um die Nullstellen zu berechnen:
[mm] 0=3*x*e^{-x+1} [/mm] das ist ein Produkt aus drei Faktoren
1. Faktor: 3
2. Faktor: x
3. Faktor: [mm] e^{-x+1}
[/mm]
ein Produkt wird zu Null, wenn (mindestens) ein Faktor Null ist, z. B. 8*7*234*0 oder 27*0,8*0*3 oder 0*0*4, jetzt zu deiner Funktion
1. Faktor: ist mit 3 gegeben, also nicht Null
2. Faktor: x also gilt x=0
3. Faktor: [mm] e^{-x+1} [/mm] egal, was du für x einsetzt, [mm] e^{...} [/mm] ist immer ungleich Null
Schlußfolgerung: die Funktion hat an der Stelle x=0 eine Nullstelle
Steffi
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