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| Aufgabe | | es ist die erste und zweite Ableitung von f(x)=x^(sin(x)) zu bilden |
Erste Ableitung:
durch logarithmieren-> ln(y)=sin(x)*lin(x)
dieses abgelitten ergibt (rechte Seite Productregel):
1/y*y'=cos(x)*ln(x)+sin(x)/x
y'=(cos(x)*ln(x)+sin(x)/x)*y
y'=(cos(x)*ln(x)+sin(x)/x)*x^sin(x)
zweite Abletung:
y'=U*x^sin(x)
Producktregel:
y''=(u'*x^sin(x) + u*y')*u
y' hier, da wir ja x^sin(x) bereits abgelitten haben
u=cos(x)*ln(x)+sin(x)/x
u'=-sin(x)*ln(x)+cos(x)/x + [mm] (cos(x)*x-sin(x))/x^2
[/mm]
Das dann eingesetzt:
y''=(u'*x^sin(x) + u*y')*u
y''=(-sin(x)*ln(x)+cos(x)/x + [mm] (cos(x)*x-sin(x))/x^2*x^sin(x) [/mm] + [mm] (cos(x)*ln(x)+sin(x)/x)^2*x^sin(x))*cos(x)*ln(x)+sin(x)/x
[/mm]
stimmt das? bin mir mit der 2.Ableitung nicht mehr so sicher.. wird ja leider auch relativ unübersichtlich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 26.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
warum machst du das denn so kompliziert. Du kannst doch schreiben:
[mm] x^{sin (x)}=exp(sin [/mm] (x) log(x))
Jetzt die Kettenregel und die Produktregel.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hi,
danke, an diese Umformung habe ich gar nicht gedacht- aber für die erste Ableitung ist es ja auch nicht so auswendig...und kommt das selbe bei raus.
Frage ist noch ob die 2. Ableitung so richtig ist und wenn ja ob man da auch noch was vereinfachen könnte??
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Hallo Winnifred,
> Hi,
> danke, an diese Umformung habe ich gar nicht gedacht- aber
> für die erste Ableitung ist es ja auch nicht so
> auswendig...und kommt das selbe bei raus.
>
> Frage ist noch ob die 2. Ableitung so richtig ist und wenn
> ja ob man da auch noch was vereinfachen könnte??
Ich gehe mal davon aus:
[mm]f'(x)=\left(\cos(x)\ln(x)+\frac{\sin x}{x}\right)x^{\sin x} = g(x)f(x)[/mm]
Dann wäre also die 2te Ableitung:
[mm]f''(x) = g'(x)f(x) + g(x)f'(x) = g'(x)f(x) + g(x)g(x)f(x) = f(x)\left(g'(x) + g^2(x)\right)[/mm]
Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, was [mm]g'(x)[/mm] ist:
[mm]g'(x) = \frac{\partial}{\partial x}\left[\cos(x)\ln(x)\right]+\frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin x}{x} = -\sin(x)\ln x + \frac{\cos x}{x} + \frac{\cos(x)x-\sin x}{x^2}[/mm]
Und jetzt wo wir [mm]g'(x)[/mm] kennen, kennen wir auch [mm]f''(x)[/mm].
Viele Grüße
Karl
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