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| Aufgabe | [mm] f(x)=(3x^2-5x)/(4x-1)
[/mm]
Berechnen Sie die 1. Ableitung an der Stelle [mm] X_0=2 [/mm] mit Hilfe der Definition des Differentailqoutienten. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis sowohl durch Anwendung geeigneter Differntiationsregeln als auch unter Verwendung des Grafikrechners.
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Es soll an [mm] X_0 [/mm] die 1. Ableitung berechnet werden aber mithilfe des Deifferentialqoutienten (ohne Differentialregeln)
Ich habe also jedesmal für das x das konstrukt (2+h) eingesetzt mit h geht gegen 0. Komisch ist, das man schon beim ersten Blick sieht das die Funktion den Grenzwert unendlich hat da im Zähler ein höherer Exponent steht....ich viele mal versucht bis zum Ende umzuformen, aber ich scheitere jedesmal. Ich weiß nicht mehr weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{3\cdot{}\left(4+2h+h^2\right)-10-5h}{8+4h-1}-\bruch{2}{7}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{12+6h+3h^2-10-5h}{7+4h}-\bruch{2}{7}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{2+h+3h^2}{7+4h}-\bruch{2}{7}}{h} [/mm] $
Hier muesste man doch die 2 Zählerbrüche erweitern, doch daran scheitere ich irgendwie, denke ich (denn wenn ich für h zur Probe eine zahl einsetze kommt im folgenden Schritte etwas anderes raus als beim vorhergehenden Schritt):
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{14+7h+28h^2-14-8h}{49+28h}}{h} [/mm] $
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oops...ist folgendes Richtig?:
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{14+7h+21h^2-14-8h}{49+28h}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-h+21h^2}{49+28h}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-h+21h}{49+28}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{20h}{78}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{20h}{78h} [/mm] $
$ = [mm] \bruch{20}{78} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo rulzmaker!
Du machst leider einen algebraischen Fehler in deiner Rechnung. Und zwar ist
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-h+21h^2}{49+28h}}{h} [/mm] $
nicht gleich
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-h+21h}{49+28}}{h} [/mm] $.
Vielmehr muss die Berechnung wie folgt weitergehen:
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-h+21h^2}{49+28h}}{h} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-h+21h^2}{49+28h}*\bruch{1}{h}$
[/mm]
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-h+21h^2}{49h+28h^2} [/mm] $
$ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-1+21h}{49+28h} [/mm] $
$ = [mm] -\bruch{1}{49}$
[/mm]
Liebe Grüße
Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 25.01.2006 | | Autor: | rulzmaker |
Dein Ergebnis ist falsch(?). Ich hab mit dem Taschenrechner die Ableitung an der Stelle 2 berechnen lassen und er kommt auf 41/49=0.83
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Mein Ergebnis geht von der Stelle aus, an der deine Umformung algebraisch falsch war - ob davor schon etwas falsch war, kann ich nicht beurteilen. Habe das ganze eher überflogen.
Gruß Seppel
EDIT (21:55 Uhr): Ich komme auf das Ergebnis, was ich schon postete.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo rulzmaker!
Ich erhalte auch Dein Ergebnis mit $f'(2) \ = \ [mm] \bruch{41}{49}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 25.01.2006 | | Autor: | rulzmaker |
Ich sitze schon den ganzen Nachmittag an der Aufgabe, nur komm eich auf den schriftlichen Weg nicht zu der richtigen Lösung....;-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hi!
Also, wie Loddar schon postete, berechnest du am besten erst einmal die allgemeine Ableitung, also einfach $f'(x)$. Hierzu müssen wir, wie Loddar ebenfalls sagte, die Quotientenregel anwenden.
Also...
$f(x)= [mm] \bruch{3x^2 - 5x}{4x - 1}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=\bruch{(6x-5)*(4x-1)-(3x^2-5x)*(4)}{(4x-1)^2}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{(24x^2-26x+5)-(12x^2-20x)}{(4x-1)^2}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{12x^2-6x+5}{(4x-1)^2}$
[/mm]
Nun setzt du für x 2 ein und schon bekommst du deine [mm] $\bruch{41}{49}$.
[/mm]
Gruß Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Habe noch einmal nachgerechnet und meinen Fehler gefunden. Ich entschuldige mich dafür, wenn ich für Verwirrung gesorgt habe - sorry!
Gruß Seppel
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Quotientenregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Bei mir ergibt $7*3 \ = \ [mm] 2\red{1}$ [/mm] (und nicht $28_$) ... 
