Ableiten v. Exponentialfunkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Di 23.11.2010 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion,dass die Funktion f die angegebene Ableitung besitzt. (n[mm] in\IN [/mm])
f(x)= [mm] \left( \bruch{x}{e^x} \right) [/mm] ; f(n)(x) = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \left( \bruch{x-n}{e^x} \right) [/mm] |
Induktionsanfang: n=1
f(1)(x)= -1 *[mm] \left( \bruch{x-1}{e^x} \right) [/mm] = f'(x)
Induktionsannahme:f(n)(x) = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \left( \bruch{x-n}{e^x} \right) [/mm]
Induktionsbehauptung:
f(n+1)(x) = [mm] (-1)^{n+1} [/mm]* [mm]\left( \bruch{1+x-n}{e^x} \right)[/mm]
Induktionsbeweis:
f (n+1)(x)= [f(n)(x)] '
[mm] =(-1)^n [/mm] *[(x-n)*[mm]e^{-x}[/mm]]'
[mm] =(-1)^n*[[/mm] [mm]e^{-x}[/mm]+(x-n)([mm]-e^{-x}[/mm])]
[mm] =(-1)^n*[[/mm] [mm]e^{-x}[/mm]-x[mm]e^{-x}[/mm]+n[mm]e^{-x}[/mm]]
f [mm] (n+1)(x)=(-1)^n*(-1)[[/mm] [mm] -e^{-x}[/mm]+x[mm] e^{-x}[/mm]-n[mm] e^{-x}[/mm]]
f (n+1)(x)= [mm] (-1)^{n+1} [/mm] [mm] \left( \bruch{-1+x-n}{e^x} \right) [/mm]
Die Beweisrechnung stimmt nicht mit mit der Behauptung überein:ich kann mir nicht erklären woran das liegt. Rechenfehler oder ist der Ansatz falsch ? ich hoffe jemand hat eine Idee.Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
ich sehe gerade im Nachhinein, dass du beim Aufstellen der Ibeh. einen Fehler hast.
Wenn die n-te Ableitung [mm] $(-1)^n\left(\frac{x-n}{e^x}\right)$ [/mm] lautet, dann sollte die (n+1)-te Ableitung gefälligst
[mm] $(-1)^{n+1}\left(\frac{x-(n+1)}{e^x}\right)$ [/mm] lauten ...
Alle n durch n+1 ersetzen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Palme |
Ok, alles klar. Dankeschön.schade nur, dass ich 3h damit verschwendet habe einen Rechenfehler zu suchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Palme |
Hallo schachuzipus!
ich habs nochmal durchgerechnet und zwar mit deinem Hinweis.
I.behauptung:
f (n+1) (x)= [mm] (-1)^{n+1} [/mm]*[mm] \left( \bruch{x-(n+1)}{e^x} \right) [/mm] =[mm] (-1)^{n+1} [/mm]*[mm] \left( \bruch{x-n+1}{e^x} \right) [/mm]
Beweis:
f (n+1) (x)= f'(n)(x)
[mm] =(-1)^n*((x-n)*[/mm] [mm] e^{-x} [/mm])'
[mm] =(-1)^n*[[/mm] [mm] e^{-x} [/mm]+(x-n)(-[mm] e^{-x} [/mm])]
[mm] =(-1)^n*[[/mm] [mm] e^{-x} [/mm]-x[mm] e^{-x} [/mm]+n[mm] e^{-x} [/mm]]
= [mm] (-1)^n*(-1)*[[/mm] [mm] \left( \bruch{-1+x-n}{e^x} \right) [/mm]]
Das Vorzeichen der 1 im Zähler im Beweis stimmt nicht mit dem Zähler der Behauptung überein . Bitte schau es dir nocheinmal an.
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Hallo Palme!
Deine Induktionsschritt ist korrekt. Der Fehler ist in Deiner Induktionsbehauptung.
Wenn Du die Klammer im Zähler auflöst, musst Du auch die Vorzeichen umdrehen:
[mm]x-(n+1) \ = \ x-n \ \red{-} \ 1[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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