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Ableiten einer funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Do 21.06.2007
Autor: CPH

Aufgabe
Zeige, dass eine quadratische Funktion f : [mm] R^n \to [/mm] R,
f(x) [mm] =\bruch{1}{2}\summe_{j,k=1}^{n}a_{jk}x_j x_k +\summe_{k=1}^{n} b_k x_k [/mm] + c
mit reellen Koeffizienten [mm] a_{jk} [/mm] = [mm] a_{kj} [/mm] , [mm] b_k [/mm] und c differenzierbar ist. Bestimme die partiellen Ableitungen
und die Ableitung f'(x) bei jeder Stelle x [mm] \in R^n. [/mm]

Hallo,

Ich verstehe das Thema differenzierbarkeit immer noch nicht.

Ich kann die Ableitung nicht bestimmen, ich weiß nicht wie.
Gilt bei mehrdimensionalen ableitungen immer noch dass man summanden einzeln ableiten darf? - dann währe zumindest folgender Teil:

[mm] \summe_{k=1}^{n} b_k x_k [/mm] + c linear und damit diffbar, was die Ableitung ist, weiß ich dann aber immer noch nicht.

Kann mir jemand einmal erläutern, wie man so eine Funktion überhaupt ableitet?

MfG

CPH

        
Bezug
Ableiten einer funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Do 21.06.2007
Autor: Somebody


> Zeige, dass eine quadratische Funktion f : [mm]R^n \to[/mm] R,
>  f(x) [mm]=\bruch{1}{2}\summe_{j,k=1}^{n}a_{jk}x_j x_k +\summe_{k=1}^{n} b_k x_k[/mm]
> + c
>  mit reellen Koeffizienten [mm]a_{jk}[/mm] = [mm]a_{kj}[/mm] , [mm]b_k[/mm] und c
> differenzierbar ist. Bestimme die partiellen Ableitungen
>  und die Ableitung f'(x) bei jeder Stelle x [mm]\in R^n.[/mm]
>  
> Hallo,
>
> Ich verstehe das Thema differenzierbarkeit immer noch
> nicht.
>  
> Ich kann die Ableitung nicht bestimmen, ich weiß nicht wie.

Die Ableitung an der Stelle [mm]x\in \IR^n[/mm] ist eine lineare Funktion [mm]\IR^n\rightarrow \IR[/mm], deren Abbildungsmatrix aus den Werten partiellen Ableitungen besteht. Sofern die partiellen Ableitungen alle existieren und stetig sind existiert (an dieser Stelle) auch die Ableitung von [mm]f[/mm].
Du leitest also den für [mm]f(x)[/mm] gegebenen Ausdruck partiell nach [mm]x_k[/mm] ab (für [mm]k=1,\ldots,n[/mm]), prüfst ob diese Ausdrücke stetige Abbildungen [mm]\IR^n\rightarrow \IR[/mm] sind und bildest mit ihnen die gewünschte Abbildungsmatrix für die Abbildung [mm]f'(x):\IR^n\rightarrow \IR[/mm] (Die Ableitung von [mm]f[/mm] selbst, manchmal mit [mm]f_\star[/mm] (manchmal aber auch einfach mit [mm]f'[/mm] bezeichnet) ist hingegen eine Abbildung [mm]f_\star:\IR^n\rightarrow(\IR^n\rightarrow \IR)[/mm]

> Gilt bei mehrdimensionalen ableitungen immer noch dass man
> summanden einzeln ableiten darf? - dann währe zumindest
> folgender Teil:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k x_k[/mm] + c linear und damit diffbar, was
> die Ableitung ist, weiß ich dann aber immer noch nicht.
>  
> Kann mir jemand einmal erläutern, wie man so eine Funktion
> überhaupt ableitet?
>  
> MfG
>  
> CPH


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