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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 13.10.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo...
Habe hier ein paar Übungsaufgaben gerechnet.
[mm] y=x^{sinx}
[/mm]
da ist doch
y'=(cosx [mm] lnx+\bruch{sinx}{x})x^{sinx}
[/mm]
nur ich komm da nicht hin...
habe so gerechnet, bzw. würde so anfangen.
[mm] =x^{sinx} [/mm] * lnx
korrekt?
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Hi Ice-Man,
> Hallo...
> Habe hier ein paar Übungsaufgaben gerechnet.
>
> [mm]y=x^{sinx}[/mm]
> da ist doch
> y'=(cosx [mm]lnx+\bruch{sinx}{x})x^{sinx}[/mm]
> nur ich komm da nicht hin...
>
> habe so gerechnet, bzw. würde so anfangen.
> [mm]=x^{sinx}[/mm] * lnx
> korrekt?
$\ f(x) = [mm] x^{\sin(x)}$ [/mm] ist eine verkettete Funktion.
Du kannst jeden reellen Ausdruck $\ x $ mittels Logarithmusgesetz auf die Form $\ x = [mm] e^{\ln (x)} [/mm] $ bringen. Und davon machen wir nun gebrauch.
$\ x = [mm] e^{\ln (x)} \gdw [/mm] f(x) = [mm] \left(e^{\ln (x)}\right)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] e^{\sin(x)\ln (x)} [/mm] $ (*)
Wir substituieren $\ u = [mm] \sin(x)\ln [/mm] (x) $ dann ist
$\ f(u) = [mm] e^u \Rightarrow [/mm] f'(u) = [mm] e^u [/mm] * u' $ gemäß  Kettenregel (**)
$\ u' = [mm] \left( \sin(x)* \ln (x) \right) [/mm] ' = [mm] \cos(x)\ln [/mm] (x) + [mm] \sin(x)*\frac{1}{x}$ [/mm] Produktregel
Also:
$\ u' = [mm] \cos(x) \ln [/mm] (x) + [mm] \sin(x) [/mm] * [mm] \frac{1}{x} [/mm] $
Zurueckgeführt zu (*) ist $\ f'(u) = [mm] e^u [/mm] * u' = f(x)= [mm] e^{\sin(x)\ln(x)}*(\cos(x) \ln [/mm] (x) + [mm] \sin(x) [/mm] * [mm] \frac{1}{x}) [/mm] $
Wegen (*) ist $\ [mm] e^{\sin(x)\ln(x)} [/mm] = [mm] \left(e^{\ln(x)}\right)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] x^\sin(x) [/mm] $
$\ [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)= [mm] x^{\sin(x)}*(\cos(x) \ln [/mm] (x) + [mm] \sin(x) [/mm] * [mm] \frac{1}{x}) [/mm] $
Ich hoffe, dass Dir das hilft.
Merk dir am Besten, dass Du bei verketteten Funktion der Form $\ f(x) = [mm] g(x)^{h(x)} [/mm] $ die Logarithmusregel $\ a = [mm] e^{\ln a } [/mm] $ für jedes $\ a [mm] \in \IR [/mm] $ zur Hilfe nehmen kannst und der Rest ist nur noch Hin- und Rücksubstitution + Kettenregel.
Ich glaube, das Ganze hätte man irgendwie einfacher darstellen können, aber ich hab das wie gesagt lediglich aus der Ketten- und Logarithmusregel abgeleitet.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Ice-Man |
ok,das leuchtet mir ein.
nur wie soll ich denn auf der linken seite die "kettenregel" anwenden.
da steht doch nur ln(y)....
oder meine ich damit das falsche?
ich würde jetzt davon ausgehen, das wenn ich z.b. lnx da stehen hätte, dann wäre ja die 1.Ableitung [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
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Hallo Ice-Man,
> ok,das leuchtet mir ein.
>
> nur wie soll ich denn auf der linken seite die
> "kettenregel" anwenden.
> da steht doch nur ln(y)....
> oder meine ich damit das falsche?
Auf der linken Seite steht doch:
[mm]\ln\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
Und das kannst Du jetzt nach der Kettenregel ableiten.
>
> ich würde jetzt davon ausgehen, das wenn ich z.b. lnx da
> stehen hätte, dann wäre ja die 1.Ableitung [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, Produktregel bekomm ich hin...
Nur ich überlege gerade wie ich die linke Seite ableite.
ln (y)
Es heißt doch äußere Ableitung mal innere Ableitung....
ln [mm] (y)^{1}
[/mm]
1 ln [mm] (y)^{0} [/mm] * 1
weil ich jetzt davon ausgehen würde, das die ableitung von y gleich 1 ist...
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Hey,
> Ok, Produktregel bekomm ich hin...
> Nur ich überlege gerade wie ich die linke Seite ableite.
> ln (y)
>
> Es heißt doch äußere Ableitung mal innere Ableitung....
>
> ln [mm](y)^{1}[/mm]
> 1 ln [mm](y)^{0}[/mm] * 1
>
> weil ich jetzt davon ausgehen würde, das die ableitung von
> y gleich 1 ist...
du darfst dir das y nicht als [mm] y^1 [/mm] vorstellen sondern musst es dir wirklich als Funktion von x denken.
Dann ganz einfach innere mal äußere Ableitung, also:
[mm] \frac{d}{dx}ln(y(x))=y'(x)\cdot \frac{1}{y(x)}.
[/mm]
Wenn du nun deine rechte Seite mit der Produktregel ableitest und noch bedenkst, dass du ja weißt, dass [mm] y(x)=x^{sin(x)} [/mm] ist (also wieder ersetzen), hast du schon das richtige Ergebnis.
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Sorry, das versteh ich nicht so wirklich.
Ich versteh nicht, wie man auf y' kommt
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> Sorry, das versteh ich nicht so wirklich.
> Ich versteh nicht, wie man auf y' kommt
Betrachten wir mal die Kettenregel:
Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion f(x)=u(v(x)) lautet:
f'(x)=u'(v(x))v'(x)
Anstatt [mm] y=x^{sin(x)} [/mm] nennen wir es g(x), also [mm] g(x)=x^{sin(x)}.
[/mm]
Nun hauen wir auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus drauf, also:
ln(g(x))=sin(x)ln(x).
Damit wir die Kettenregel eins zu eins übertragen können, nenne ich die rechte Seite f(x), also f(x)=ln(g(x)). Dies ist nun eine Verkettung zweier Funktionen ln und g(x).
Es wird nach x abgeleitet und zwar streng nach der Regel, also:
[mm] f'(x)=(ln(g(x))'\cdot g'(x)=\frac{1}{g(x)}\cdot [/mm] g'(x).
Nun ersetze g(x) wieder durch [mm] x^{sin(x)} [/mm] und löse die gesamte Gleichung nach g'(x) auf.
Das g'(x) entspricht dann dem vorher angesprochenen y', und das ist ja gerade das, was du ausrechnen sollst.
Gruß Sleeper
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