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| Aufgabe | | [mm] \bruch{2}{\wurzel{a}} [/mm] * [mm] ln(\wurzel{ax + b}+\wurzel{ax +d}) [/mm] |
hi
ich soll obige funktion ableiten was bei mir folgende ergibt:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{ax + b}+\wurzel{ax + d}} [/mm] *( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{a}{\wurzel{ax + b}} +\bruch{1}{2} *\bruch{a}{\wurzel{ax + d}})$
[/mm]
die ergibt dann ausmultipliziert:
[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{a}{(\wurzel{ax + b}+\wurzel{ax + d})*\wurzel{ax + b}} [/mm] + [mm] \bruch{a}{(\wurzel{ax + b}+\wurzel{ax + d})*\wurzel{ax + d}})
[/mm]
die [mm] \bruch{2}{\wurzel{a}} [/mm] hab ich oben jetzt erstmal weggelassen weil es ja ne konstante ist oder?
so aber das kann man jetz scheinbar noch zusammenfassen zu
[mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{(ax + b)*(ax + d)}}
[/mm]
und genau auf das komm ich nicht.. die obere ableitung müsste stimmen aber beim zusammenfassen komm ich nicht weiter...
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
[mm] f^{,}(x)=\bruch{2}{\wurzel{a}}*\bruch{1}{x}o(\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d})*(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a)
[/mm]
Verkettung der obigen Funktion liefert
[mm] \bruch{2}{\wurzel{a}}*\bruch{1}{\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}}*(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a)
[/mm]
durch ausklammern von [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] erhalten wir
[mm] \bruch{1}{\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}}*\bruch{2}{\wurzel{a}}*\bruch{1}{2}a*(\bruch{1}{\wurzel{ax+b}}+\bruch{1}{\wurzel{ax+d}})
[/mm]
wir erweitern den Bruch des letzten Faktors und erhalten
[mm] \wurzel{a}*\bruch{1}{\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}}*(\bruch{\wurzel{ax+d}+\wurzel{ax+b}}{\wurzel{ax+b}*\wurzel{ax+d}})
[/mm]
kürzen liefert
[mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{(ax + b)\cdot{}(ax + d)}}
[/mm]
Gruß,
Marcel
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hi
was machst du denn bei der verkettung genau und woher kommt das 1/x ??
der schritt von
$ [mm] f^{,}(x)=\bruch{2}{\wurzel{a}}\cdot{}\bruch{1}{x}o(\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d})\cdot{}(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a) [/mm] $
nach
$ [mm] \bruch{2}{\wurzel{a}}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}}\cdot{}(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a) [/mm] $
ist mir nicht ganz klar...
und gibt es da noch einen anderen weg um das zu lösen ohne verkettung ?
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> was machst du denn bei der verkettung genau und woher kommt
> das 1/x ??
>
> der schritt von
>
> [mm]f^{,}(x)=\bruch{2}{\wurzel{a}}\cdot{}\bruch{1}{x}o(\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d})\cdot{}(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a)[/mm]
>
> nach
>
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{a}}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}}\cdot{}(\bruch{1}{2\wurzel{ax+b}}a+\bruch{1}{2\wurzel{ax+d}}a)[/mm]
>
> ist mir nicht ganz klar...
Marcel hat hier die beiden Funktionen
[mm]z\left(x\right)=\bruch{2}{\wurzel{a}}*\ln\left(x\right)[/mm]
[mm]g\left(x\right)=\wurzel{ax+b}+\wurzel{ax+d}[/mm]
mit einander verkettet und die Ableitung gebildet.
Die Ableitung einer solch verketten Funktion
[mm]z\left(g\left(x\right)\right)[/mm]
geschieht mit Hilfe der Kettenregel.
[mm]\left(z \circ g\right)=z\left(g\left(x\right)\right)[/mm]
Dann ist
[mm]\left(z \circ g\right)'=g'\left(x\right)*\left(z' \circ g\right)[/mm]
[mm]\left(z' \circ g\right)=\bruch{2}{\wurzel{a}}*\left(\bruch{1}{x} \circ g\left(x\right)\right)=\bruch{2}{\wurzel{a}}*\bruch{1}{g\left(x\right)}[/mm]
>
> und gibt es da noch einen anderen weg um das zu lösen ohne
> verkettung ?
Der Weg eben über die Kettenregel.
>
> mfg stargate
>
Gruß
MathePower
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hi
ok danke für eure antworten, ich hätte noch 2 ableitungen wo ich die vereinfachung nicht hinbekomme, wenn ich nicht die lösung wüsste würde ich da nie im leben draufkommen es überhaupt nochmal zu vereifachen..
also die erste aufgabe:
[mm] ln(tan(\bruch{x}{2}))
[/mm]
abgeleitet ergibt das bei mir folgendes:
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*tan^2(\bruch{x}{2})}{tan(\bruch{x}{2})}
[/mm]
die zusammengefasste lösung sollte folgendes ergeben:
[mm] \bruch{1}{sin(x)}
[/mm]
dann die 2. Aufgabe:
[mm] ln(x+\wurzel{x^2+1})
[/mm]
die ableitung ist:
[mm] \bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}{x+\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
zusammengefasst sollte sowas rauskommen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> ok danke für eure antworten, ich hätte noch 2 ableitungen
> wo ich die vereinfachung nicht hinbekomme, wenn ich nicht
> die lösung wüsste würde ich da nie im leben draufkommen es
> überhaupt nochmal zu vereifachen..
>
>
> also die erste aufgabe:
>
> [mm]ln(tan(\bruch{x}{2}))[/mm]
>
>
> abgeleitet ergibt das bei mir folgendes:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*tan^2(\bruch{x}{2})}{tan(\bruch{x}{2})}[/mm]
>
Um die Vereinfachung hinzubekommen, wende die Definition des Tangens an:
[mm]\tan\left(\bruch{x}{2}\right)=\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}[/mm]
> die zusammengefasste lösung sollte folgendes ergeben:
>
> [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
>
> dann die 2. Aufgabe:
>
> [mm]ln(x+\wurzel{x^2+1})[/mm]
>
> die ableitung ist:
>
> [mm]\bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
Multipliziere hier mit [mm]\bruch{ \wurzel{ x^{2}+1 } }{ \wurzel{ x^{2}+1 } }[/mm]
>
> zusammengefasst sollte sowas rauskommen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
also bei der tan aufgabe hab ich es jetzt mal bis hierhin aufgelöst..
[mm] \bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{2*tan(\bruch{x}{2})}
[/mm]
dann tan noch aufgelöst ergibt:
[mm] \bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{2*cos(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{x}{2})}
[/mm]
da häng ich jetzt gerade oder kann ich einfach sagen das über dem bruch ist 1 und darunter der ausdruck
[mm] 2*cos(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{x}{2})
[/mm]
ist [mm] sinh(2*\bruch{x}{2}) [/mm] was dann sinh(x) ergäbe ??
mfg stargate
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Sa 06.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja deine Umformungen sind genau richtig, nur am Schluss natürlich sin(x) nicht sinh(x)
(es ist meistens praktischer für die Ableitung von tan direkt [mm] (tan(x))'=1/cos^2(x) [/mm] zu nehmen.)
Gruss leduart
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hi
bei der 2. aufgabe
$ [mm] \bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
hast du ja gesagt ich soll mit $ [mm] \bruch{ \wurzel{ x^{2}+1 } }{ \wurzel{ x^{2}+1 } } [/mm] $ multiplizieren..
da kam bei mir folgendes raus..
[mm] \bruch{\wurzel{x^2+1}+x}{x*\wurzel{x^2+1}+(x^2+1)}
[/mm]
aber wie kann ich da weiter vereinfachen dass ich auf meine lösung komme?
oder meintest du überm und unterm bruch mit $ [mm] \bruch{ \wurzel{ x^{2}+1 } }{ \wurzel{ x^{2}+1 } } [/mm] $ multiplizieren ? da kam aber auch nichts brauchbares bei raus....
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> bei der 2. aufgabe
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> [mm]\bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
> hast du ja gesagt ich soll mit [mm]\bruch{ \wurzel{ x^{2}+1 } }{ \wurzel{ x^{2}+1 } }[/mm]
> multiplizieren..
>
> da kam bei mir folgendes raus..
>
> [mm]\bruch{\wurzel{x^2+1}+x}{x*\wurzel{x^2+1}+(x^2+1)}[/mm]
Ich schreib das mal anders:
[mm]\bruch{\wurzel{x^2+1}+x}{x*\wurzel{x^2+1}+\left(\wurzel{x^2+1}\right)^{2}}[/mm]
Jetzt siehst Du, daß im Nenner [mm]\wurzel{x^{2}+1}[/mm] ausgeklammert werden kann.
>
> aber wie kann ich da weiter vereinfachen dass ich auf meine
> lösung komme?
>
> oder meintest du überm und unterm bruch mit [mm]\bruch{ \wurzel{ x^{2}+1 } }{ \wurzel{ x^{2}+1 } }[/mm]
> multiplizieren ? da kam aber auch nichts brauchbares bei
> raus....
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Nein, das meinte ich nicht.
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> mfg stargate
Gruß
MathePower
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