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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Mark007 |
1) Hi, wollte meine Aufgaben gerne kontrollieren lassen und einige Fragen stellen:
Leite ab:
f(x)= ln(x) [mm] g(x)=4*3^x
[/mm]
und f+g; f*g ; f:g; f°(verkettet)g ; [mm] g^{-1} [/mm] also die Umkehrfunktion von g(x) ableiten
Meine Lösungen:
f '(x)= 1/x
g [mm] '(x)=4*ln(3)*3^x [/mm] = [mm] 4,3944*3^x
[/mm]
(f+g) '(x)= [mm] 1/x+4,3944*3^x
[/mm]
(f/g) `(x)= [mm] \bruch{ 4*3^x *1/x - 4,3955ln(x)*3^x}{36*3^x}
[/mm]
(f°g) '(x)= [mm] \bruch{4,3944*3^x}{4*3^x}= [/mm] 1,0986
[mm] (g^{-1}) [/mm] '(x)= als erstes nur die Umkehrfunktion: [mm] 4*3^x=y
[/mm]
[mm] 3^x= [/mm] y/4
x=log3(y/4) Die 3 bedeutet zur Basis 3!
y= [mm] log3(\bruch{1}{4}x) [/mm] = ln(0,333333)/ln(3)+ln(x)/ln(3)= [mm] -1+\bruch{ln(x)}{ln(3)}
[/mm]
[mm] (g^{-1}) [/mm] '(x)= [mm] \bruch{ln(3)*1/x-ln(x)}{(ln(3))^2}
[/mm]
Aber was ist die Ableitung von ln(3)?
h(x)= [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
h '(x)= [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Stimmt das?
k(x)= log5(x) Wieder zur Basis 5
= [mm] \bruch{ln(5)}{ln(x)}
[/mm]
k '(x)= {ln(x)* Ableitung von [mm] ln(5)-1/x*ln(5)}{(ln(x))^2}
[/mm]
Und stimmt das?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Mark
> 1) Hi, wollte meine Aufgaben gerne kontrollieren lassen und
> einige Fragen stellen:
> Leite ab:
> f(x)= ln(x) [mm]g(x)=4*3^x[/mm]
> und f+g; f*g ; f:g; f°(verkettet)g ; [mm]g^{-1}[/mm] also die
> Umkehrfunktion von g(x) ableiten
>
> Meine Lösungen:
> f '(x)= 1/x
> g [mm]'(x)=4*ln(3)*3^x[/mm] = [mm]4,3944*3^x[/mm]
richtig
> (f+g) '(x)= [mm]1/x+4,3944*3^x[/mm]
richtig
f*g fehlt
> (f/g) '(x)= [mm]\bruch{ 4*3^x *1/x - 4,3955ln(x)*3^x}{36*3^x}[/mm]
Der Nenner ist [mm] falsch!(4*3^x)^2=16*3^{2x} [/mm] oder [mm] 16*9^x [/mm]
Du solltest vielleicht auch noch durch [mm] 3^x [/mm] kuerzen!
> (f°g) '(x)= [mm]\bruch{4,3944*3^x}{4*3^x}=[/mm] 1,0986
richtig
> [mm](g^{-1})[/mm] '(x)= als erstes nur die Umkehrfunktion: [mm]4*3^x=y[/mm]
> [mm]3^x=[/mm] y/4
> x=log3(y/4) Die 3 bedeutet zur Basis 3!
> y= [mm]log3(\bruch{1}{4}x)[/mm] = ln(0,333333)/ln(3)+ln(x)/ln(3)=
hier hast du nen Fehler log1/4 ist log0,25 nicht log0,333..
es ist auch einfacher:
[mm] 4*3^y=x
[/mm]
[mm] ln(4*3^y)=lnx
[/mm]
ln4+y*ln3=lnx y=(lnx-ln4)/ln3
> [mm]-1+\bruch{ln(x)}{ln(3)}[/mm]
>
> [mm](g^{-1})[/mm] '(x)= [mm]\bruch{ln(3)*1/x-ln(x)}{(ln(3))^2}[/mm]
so noch falsch, [mm] g^{-1}=a+b*lnx [/mm]
[mm](g^{-1})[/mm] '(x)=b/x
> Aber was ist die Ableitung von ln(3)?
ln3 ist ne Zahl! wie 3 oder [mm] \wurzel{3} [/mm]
> h(x)= [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
> h '(x)= [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
Richtig
> k(x)= log5(x) Wieder zur Basis 5
> = [mm]\bruch{ln(5)}{ln(x)}[/mm]
hier ist dein erster wirklicher Fehler bei log3 hast dus noch richtig gemacht! müde?
log_5x= [mm]\bruch{ln(x)}{ln(5)}[/mm]
denk dran, die "art" der fkt bleibt erhalten, alle log fkt sehen gleich aus, nur mit ner Zahl vergroessert oder verkleinert! deshalb wird auch die steigung nur mit der Zahl vergroessert.
> k '(x)= ln(x)* Ableitung von [mm]ln(5)-1/x*ln(5)}{(ln(x))^2}[/mm]
>
> Und stimmt das?
Wegen Fehler oben nein, aber jetzt kannst dus ja.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 15.02.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hi, danke für die Verbesserung!
Ich habe hier jetzt noch einige Fehler versucht zu berichtigen ist die Rechnung so richtig?
f*g= [mm] ln(x)*4*3^x
[/mm]
(f*g) '(x)= [mm] ln(x)*4,39*3^x+ 4*3^x*1/x= 4,3944ln(x)*3^x+ \bruch{4}{x}*3^x
[/mm]
Okay, die Umkehrfunktion von g(x)= [mm] 4*3^x [/mm] ist [mm] g^{-1}(x)= \bruch{ln(x/4)}{ln(3)} [/mm]
[mm] g^{-1} [/mm] '(x)= [mm] \bruch{1/x}{1,0986123} [/mm] Auf den Nenner komme ich, da ln(3) ^2 durch das ln(3) im Zähler gekürzt wurde!
Und dann noch die ableitung von k(x)= [mm] \bruch{ln(x)}{ln(3)}
[/mm]
k '(x)= [mm] \bruch{1/x}{ln(3)} [/mm]
Ist das jetzt richtig?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 15.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ALLES RICHTIG
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GRUSS leduart
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