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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 25.11.2008 | | Autor: | tine26 |
| Aufgabe | Funktionsschar: fa(x)=(x-1)* ln(ax)
Es existiert genau ein Graph der Schar ga, der nur einen Punkt T mit der x-Achse gemeinsam hat. geben Sie den Parameter a für diesen Graphen an und weisen Sie nach, dass der Punkt T gleichzeitg lokaler Tiefpunkt ist. |
Also bei dieser Aufgabe komme ich einfach nciht weiter, erst dachte ich von wegen Ableitung bilden, dann Ortskurve aufstellen, Schnittpunkt berechen der Ortskurve mit x-Achse - >Parmater a berechnen.
Tja bei der Ableitung bin ich schon gescheitert: f'=1 * ln(ax)+1-1/x
Ich weiß einfach nciht mehr weiter, und würde mich sehr freuen, wenn ihr mit helfen könntet, die Frage habe ich nirgendwo anders gestellt.
lg tine
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Hallo tine26,
> Funktionsschar: fa(x)=(x-1)* ln(ax)
>
> Es existiert genau ein Graph der Schar ga, der nur einen
> Punkt T mit der x-Achse gemeinsam hat. geben Sie den
> Parameter a für diesen Graphen an und weisen Sie nach, dass
> der Punkt T gleichzeitg lokaler Tiefpunkt ist.
> Also bei dieser Aufgabe komme ich einfach nciht weiter,
> erst dachte ich von wegen Ableitung bilden, dann Ortskurve
> aufstellen, Schnittpunkt berechen der Ortskurve mit x-Achse
> - >Parmater a berechnen.
>
> Tja bei der Ableitung bin ich schon gescheitert: f'=1 *
> ln(ax)+1-1/x
>
> Ich weiß einfach nciht mehr weiter, und würde mich sehr
> freuen, wenn ihr mit helfen könntet, die Frage habe ich
> nirgendwo anders gestellt.
Berechne die Schnittpunkte von [mm]f_{a}\left(x\right)[/mm] mit der x-Achse. Dann erhältst Du in der Regel unterschiedliche Nullstellen.
Sorge dann dafür, daß alle gefundenen Nullstellen gleich sind.
>
> lg tine
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tine26 |
Das ist ne gute Idee, hatte die Nulstellen x=1/a und x=1 dementsprechend wäre a der gescuhte Punkt...
So würde die Funktion dann lauten f(x)=(1-x)*ln(x)... Die ableitung davon wäre damm f'(x)=ln(x)-1/x-1, wenn ich mich nciht verrechnet hab in der Schnelle... wie kann ich daraus den Tiefpunkt berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Das ist ne gute Idee, hatte die Nulstellen x=1/a und x=1
> dementsprechend wäre a der gescuhte Punkt...
Du meinst a = 1 ? Also x = 1
>
> So würde die Funktion dann lauten f(x)=(1-x)*ln(x)... Die
> ableitung davon wäre damm f'(x)=ln(x)-1/x-1, wenn ich mich
> nciht verrechnet hab in der Schnelle... wie kann ich daraus
> den Tiefpunkt berechnen?
Zeige: es ist f'(1) = 0 und f''(1) > 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tine26 |
Danke, ohje da hätte ich auch selber drauf kommen können... manno ,einte natürlich a=1...
Und wie kann ich nachweisen, dass es für alle Funktionen dieser Schar diese Tiefpunkte gibt? Deswegen bin ich so auf dieser Gleichung "Herumgeritten"... könnte man es auch begründen, von wegen 2 Schnittpunkte mit x-Achse, Frenzen im Unednlichen gehen jeweils ins Unednliche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir wissen, dass für a=1 nur eine Nullstelle existiert, da dann beide möglichen Nullstelle [mm] x_{1}=\bruch{1}{a} [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] "zusammenfallen".
Also bleibt der Punkt T(1/0) zu betrachten.
Und jetzt zeige mal, dass f'(1)=0 (notwendige Bedingung für Extrempunkte das hat nichts mit der y-Koordinate zu tun, die hier "zufälligerweise" auch Null ist)) und f''(1)>0 (Hinreichende Bedingung für TP)
Oder meinst du allgemein dit Tiefpunkte [mm] t(x_{t}/f(x_{t}) [/mm] ?
Dann musstest du diese erstmal bestimmen mit [mm] f_{a}'(x_{t})=0
[/mm]
dann mache die Probe ob [mm] f_{a}(x_{t})>0 [/mm] und dann berechne die y-Korodinate [mm] f_{a}(x_{t})
[/mm]
Ach ja: [mm] f_{a}(x)=\underbrace{(x-1)}_{u}*\underbrace{\ln(ax)}_{v}
[/mm]
hat die Ableitung (per Produktregel, für v' auch die Kettenregel)
[mm] f_{a}'(x)=\underbrace{(x-1)}_{u}*\underbrace{\bruch{1}{ax}*a}_{v'}+\underbrace{1}_{u'}*\underbrace{\ln(ax)}_{v}
[/mm]
[mm] =\bruch{x-1}{x}+\ln(ax)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tine26 |
Daruaf bin ich nun auch gekommen, meine Frage wäre wie ich nun die Tiefpunkte hinaus bekomme, da ja einmal das x in der ln funktion steht und andererseits normal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Yasko |
Naja, deine Ableitung hast du herausgefunden...
Nun setzt du diese = 0, löst nach x auf und bekommst nun deine nullstellen der ableitung. An diesen Stellen ist die Steigung deiner Funktion 0, bedeutet sie befindet sich an einem Sattelpunkt / Wendepunkt oder an einem Extremum.
Leite nun die Ableitung noch einmals ab und setzte hier deinen Wert für x ein, welchen du durch deine Nullstelle der Ableitung bekommen hast. Ist dieser Wert größer als Null, so befindet sich an deiner Nullstelle der Ableitung bei der ursprünglichen funktion f(x) ein minimum. Das ist deswegen der Fall, da du hier eine Steigung von 0 hast und deine Steigung der Steigung, also deine zweite Ableitung hier positiv ist, das bedeutet du hast einen Wechsel der Steigung deiner funktion f(x) von - nach plus (die erste Ableitung geht vom Bereich y < 0 über nach y > 0), deine funktion f(x) fällt also erst, steigt dann nach deinem Extremum wieder an.
Versuchs mal :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:40 Do 27.11.2008 | | Autor: | tine26 |
Das ist mir vollkommen klar, dass Problem ist eher die Umformung des ganzen, ich bekomm x einfach nicht zum Alleinstehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 27.11.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wie schon erwähnt wurde, kannst du hier nicht wirklich nach x auflösen.
Aber das brauchst du ja auch gar nicht. Das müsstest du höchstens, wenn du Extrempunkte suchen würdest, also du keinen Schimmer hättest, wo die wären. Aber hier weißt du ja schon (oder zumindest vermutest du), dass ein Tiefpunkt bei x=1 sein sollte (für a=1).
Also einfach für x und a 1 eingesetzt und geschaut, ob [mm]f'_{1}(1)=0[/mm] ist (was der Fall sein sollte)!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Das ist mir vollkommen klar, dass Problem ist eher die
> Umformung des ganzen, ich bekomm x einfach nicht zum
> Alleinstehen...
Hallo,
ich finde es etwas schwer, herauszufinden, welches Problem Du im Moment lösen möchtest.
Falls Du die Koordinaten des Tiefpunktes für [mm] f_a [/mm] suchst:
wie bereits mehrfach erwähnt, kannst Du diese Gleichung nicht nach x auflösen.
Es sind die Koordinaten dieses Tiefpunktes aber lt. Aufgabenstellung gar nicht gefordert.
Was Du tun kannst: Du hast ja die Nullstellen von [mm] f_a [/mm] schon bestimmt. Da die Funktion stetig ist, sie keine Definitionslücken hat und auch nicht konstant ist, muß zwischen zwei Nullstellen ein Extremwert liegen. Du müßtest nun nur noch herausfinden, ob die Funktion zwischen den beiden Nullstellen größer oder kleiner als Null ist, um die Art des Extremwertes zu wissen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:46 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Naja, deine Ableitung hast du herausgefunden...
> Nun setzt du diese = 0, löst nach x auf und bekommst nun
> deine nullstellen der ableitung.
Das ist doch dummes Zeug. In diesem Fall bekommst Du die Gleichung f'(x) = 0 nie explizit nach x aufgelöst !!!!!!
FRED
> An diesen Stellen ist die
> Steigung deiner Funktion 0, bedeutet sie befindet sich an
> einem Sattelpunkt / Wendepunkt oder an einem Extremum.
> Leite nun die Ableitung noch einmals ab und setzte hier
> deinen Wert für x ein, welchen du durch deine Nullstelle
> der Ableitung bekommen hast. Ist dieser Wert größer als
> Null, so befindet sich an deiner Nullstelle der Ableitung
> bei der ursprünglichen funktion f(x) ein minimum. Das ist
> deswegen der Fall, da du hier eine Steigung von 0 hast und
> deine Steigung der Steigung, also deine zweite Ableitung
> hier positiv ist, das bedeutet du hast einen Wechsel der
> Steigung deiner funktion f(x) von - nach plus (die erste
> Ableitung geht vom Bereich y < 0 über nach y > 0), deine
> funktion f(x) fällt also erst, steigt dann nach deinem
> Extremum wieder an.
> Versuchs mal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Do 27.11.2008 | | Autor: | tine26 |
Das war im Prinzip auch meine Frage, ob man irgendwie x alleinstehend bekommen kann. Aber das geht nun vermutlich nicht. Man sollte dies auch nur begründen, ob dies für alle Funktionen gilt.
Habe es ähnlich begründet, von wegen muss ein Extrempunkt geben, habe das dann aber mit den Grenzen begründet (beide ins Unedliche gehend, wenn mans gegen unendlich oder 0 laufen lässt.
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