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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 25.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{a}(x)=(x+a)*e^{-x} ,a\ge0
[/mm]
a)Zeigen Sie,dass die Graphen von [mm] f_{a} [/mm] und [mm] f_{a}' [/mm] genau einen Schnittpunkt [mm] S_{a} [/mm] haben und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a.Bestimmen Sie den Wert von a,für den sich die beiden Graphen rechtwinklig schneiden.
b)Die Parallele uir y-Achse mit x=u, [mm] u\ge0 [/mm] ,schneidet den Graphen von [mm] f_{1} [/mm] im Punkt [mm] P_{u}(u/f_{1}(u)) [/mm] und den Graphen von [mm] f_{1}' [/mm] im Punkt [mm] Q_{u}(u/f_{1}'(u)).Die [/mm] Punkte [mm] P_{u} [/mm] und [mm] Q_{u} [/mm] bilden mit dem Schnittpunkt [mm] S_{1}(-0.5/0.5*e^{0.5}) [/mm] der Graphen von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{1}' [/mm] das Dreieck [mm] S_{1},Q_{u},P_{u}.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] u\ge [/mm] so,dass der Flächeninhalt A(u) dieses Dreiecks maximal wird.
Zur [mm] Kontrolle[A(u)=(u^{2}+u+0.25)*e^{-u}
[/mm]
c)Die Graphen von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{1}' [/mm] schließen mit der parallelen zur y-Achse mit x=u [mm] ,u\ge0,ein [/mm] Flächenstück ein.
Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u.
Prüfen Sie,ob für [mm] u\to+\infty [/mm] das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Inhalt hat. |
Hallo^^
Ich mach grad diese Aufgabe und komme nicht mehr weiter.
Bei der a) hab ich den Schnittpunkt ausgerechnet,der lautet [mm] S_{a}(0.5-a/0.5*e^{a-0.5}).Jetzt [/mm] soll ich den Wert für a bestimmen,für den sich die beiden Graphen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{1}' [/mm] rechtwinklig schneiden.Das heißt doch,dass die Steigung von einem Graphen 1 und von anderem -1 sein muss,aber ich versteh nicht wie ich rauskriegen soll,welcher Graph,welche Steigung hat ?
Oder ist mein Ansatz allgemein falsch?
b) Ich muss ja den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen,also [mm] A(u)=\bruch{g*h}{2}.Die [/mm] Eckpunkte des Dreiecks sind vorgegeben,also [mm] S_{1},Q_{1},P_{1}. [/mm] Als die Grundfläche könnte man doch die y-Koordinate von [mm] S_{1} [/mm] nehmen,also [mm] 0.5*e^{0.5},aber [/mm] was soll man denn hier als Höhe nehmen?Ich versteh auch nicht,wie die auf dieses Ergebniss kommen.
c)Hier muss ich doch folgendes Integral berechnen [mm] \integral_{u}^{-0.5}{f_{1}(x)-f_{1}'(x) dx}
[/mm]
[mm] f_{1}(x)-f_{1}'(x)=2xe^{-x}+2ae^{-x}-e^{-x}
[/mm]
[mm] \integral_{u}^{-0.5}{2xe^{-x}+2ae^{-x}-e^{-x}
dx}=[-e^{-x}*2x-2e^{-x}-2ae^{-x}+e^{-x}]
[/mm]
Wenn ich die Grenzen einsetzen komme ich auf:
[mm] -e^{-u}*2u-e^{-u}-2ae^{-u}+2e^{-0.5}+2ae^{-0.5}
[/mm]
Ist das so richtig?
Jetzt soll ich noch überfrüfen,ob das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Inhalt hat.Ich würde einfach mal große x-Werte einesetzen,aber kann man das nicht auch irgendwie anders machen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen dank für eure Hilfe
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das Produkt beider Ableitungswerte muss [mm]-1[/mm]
> ergeben.
>
> Konkret musst Du hier berechnen:
> [mm]f_a'(x_s)*f_a''(x_s) \ = \ -1[/mm]
> Dabei ist [mm]x_s \ = \ \bruch{1}{2}-a[/mm]
> .
Ja,stimmt,ich habs mal gemacht,kommeaber bei einer Gleichung nicht mehr weiter,also:
[mm] f_{a}'(x)=(-x+1-a)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=e^{-x}*(x-2+a)
[/mm]
[mm] f_{a}'(x_{s})=(1.5-2a)*e^{a-0.5}
[/mm]
[mm] f_{a}''(x_{s})=-1.5e^{a-0.5}
[/mm]
[mm] ((1.5-2a)*e^{a-0.5})*(-1.5e^{a-0.5})=-1
[/mm]
[mm] 2.25e^{a-0.5}-3ae^{a-0.5}=-1
[/mm]
Diese Gleichung krieg ich nicht nach a aufgelöst,stimmt die so überhaupt?
vieln dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Do 25.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> b) Ich muss ja den Flächeninhalt eines Dreiecks
> bestimmen,also [mm]A(u)=\bruch{g*h}{2}.Die[/mm] Eckpunkte des
> Dreiecks sind vorgegeben,also [mm]S_{1},Q_{1},P_{1}.[/mm] Als die
> Grundfläche könnte man doch die y-Koordinate von [mm]S_{1}[/mm]
> nehmen,also [mm]0.5*e^{0.5},aber[/mm] was soll man denn hier als
> Höhe nehmen?
Hast Du Dir mal eine Skizze gemacht und das entsprechende Dreieck gezeichnet?
Dann solltest Du erkennen, dass man besser als Grundseite die Seite [mm] $\overline{P_1 Q_1}$ [/mm] wählt. Die Länge dieser Grundseite ist die Differenz der beiden entsprechenden Funktionswerte / y-Werte.
Die Höhe des Dreieckes ergibt sich dann jeweils zu: $h \ = \ [mm] u+\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank,ich habs noch mal gemacht,stimmt es jetzt so?
[mm] \integral_{-0.5}^{u}{(2x+1)*e^{-x} dx}=[e^{-x}*(-2x-3)]
[/mm]
Wenn ich die Grenzen einsetze,kommt da [mm] e^{-u}*(-2u-3)-e^{-0.5} [/mm] raus.
Jetzt ist noch zu überprüfen,ob das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Inhalt hat.
Ich hab jetzt einfach große u-Werte eingesetzt un hab als Grenzwert -0.6 rausbekommen,d.h. die Fläche hat einen endlichen Inhalt,aber kann man das nicht auch anders zeigen oder ist das schon genügend so?
lg
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Hallo
deine Stammfunktion ist korrekt
[mm] e^{-x}(-2x-3)
[/mm]
jetzt Grenzen einsetzen
[mm] e^{-u}(-2u-3)-e^{0,5}*(-2)=\bruch{1}{e^{u}}(-2u-3)+2*e^{0,5}
[/mm]
dein Fehler ist bei der unteren Grenze passiert
[mm] e^{-(-0,5)}(-2*(-0,5)-3)=e^{0,5}*(-2)
[/mm]
jetzt kannst du wieder die Grenzwertbetrachtung machen
[mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{u}}(-2u-3)+2*e^{0,5}=....
[/mm]
Steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
